数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

均摊分析衡量的是什么？

  1. A在最坏情况的操作序列上，每个操作的平均代价
  2. B算法在最好输入上的代价
  3. C在随机输入上的期望代价
  4. D序列中任何位置上单个最昂贵操作的代价
2.算法与复杂度困难

关于类 NP 的哪个定义是正确的？

  1. A非多项式的问题
  2. B给定证书时，其"是"答案能在多项式时间内验证的判定问题
  3. C不能在多项式时间内求解的问题
  4. D任何算法都无法求解的问题
3.数据结构中等

使用邻接矩阵检查边 (u, v) 是否存在需要多长时间？

  1. AO(1)
  2. BO(log V)
  3. CO(E)
  4. DO(V)
4.数据结构困难

采用按秩合并（union by rank）和路径压缩（path compression）的并查集（union-find，不相交集合），每次操作的均摊代价为：

  1. AO(α(n))，即反阿克曼函数，实际上可视为常数
  2. B恰好 O(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
5.图论中等
ABCDEFG欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 10
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
176414927810ABCDEFG

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 4 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · 在最坏情况的操作序列上，每个操作的平均代价

为什么是这个答案

均摊分析把少数昂贵操作的代价分摊到许多廉价操作上，从而对任意操作序列给出有保证的平均值。

答案

A · 在最坏情况的操作序列上，每个操作的平均代价
2.算法与复杂度

答案: B · 给定证书时，其"是"答案能在多项式时间内验证的判定问题

为什么是这个答案

对于 NP 问题，一个候选解（证书）可以被快速检验，例如验证给定的赋值是否满足一个布尔公式。

答案

B · 给定证书时，其"是"答案能在多项式时间内验证的判定问题
3.数据结构

答案: A · O(1)

为什么是这个答案

第 u 行第 v 列的元素立即告诉你该边是否存在；邻接表则可能需要扫描 u 的邻居。

答案

A · O(1)
4.数据结构

答案: A · O(α(n))，即反阿克曼函数，实际上可视为常数

为什么是这个答案

同时使用两种优化后，操作的均摊时间为 O(α(n))；对于任何实际的 n，α(n) ≤ 4。

答案

A · O(α(n))，即反阿克曼函数，实际上可视为常数
5.图论

答案: 有欧拉通路，无回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 3

奇度顶点

A, G → 2
有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

6.图论

答案: C

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 1, C: 7
2. B (1): D: 5, G: 8
3. D (5): E: 14
4. C (7)
5. G (8)
6. E (14): F: 16
7. F (16)

轮 4

C

答案

C

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms