数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

在边权非负的图中，哪种算法用于求单源最短路径？

  1. AKruskal 算法
  2. B深度优先搜索（DFS）
  3. CDijkstra 算法
  4. D任何情况下都必须使用 Bellman–Ford
2.算法与复杂度困难

旅行商问题如何分类？

  1. A判定版本是 NP 完全的，优化版本是 NP 难的
  2. B它属于 P，因为 Dijkstra 算法通过把每个城市访问一次来求解它
  3. C判定版本属于 P，但优化版本是 NP 完全的
  4. D它是不可判定的
3.数据结构中等

在用数组存储的二叉最小堆（索引从 0 开始）中，索引为 i 的节点的子节点位于：

  1. Ai/2 和 i/2 + 1
  2. B2i + 1 和 2i + 2
  3. C2i 和 2i + 1
  4. Di + 1 和 i + 2
4.数据结构困难

向 AVL 树插入一个键后，某节点的左子树过高，而新键插入到了其左子节点的左子树中（左左情况）。应采用哪种修正？

  1. A对该节点及其子节点重新着色
  2. B先在子节点处左旋，再在该节点处右旋
  3. C在失衡节点处进行一次右旋
  4. D在失衡节点处进行一次左旋
5.图论中等
ABCDEF欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 6|E| = 6
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
6212952153121415ABCDEFG

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 4 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · Dijkstra 算法

为什么是这个答案

Dijkstra 算法适用于非负权重；Bellman–Ford 能处理负权重；Kruskal 用于构建最小生成树。

答案

C · Dijkstra 算法
2.算法与复杂度

答案: A · 判定版本是 NP 完全的，优化版本是 NP 难的

为什么是这个答案

"是否存在长度至多为 k 的回路？"是 NP 完全的；求最短回路是 NP 难的，因为它至少同样困难。

答案

A · 判定版本是 NP 完全的，优化版本是 NP 难的
3.数据结构

答案: B · 2i + 1 和 2i + 2

为什么是这个答案

对于从 0 开始的数组，左子节点位于 2i + 1，右子节点位于 2i + 2，父节点位于 ⌊(i − 1)/2⌋。

答案

B · 2i + 1 和 2i + 2
4.数据结构

答案: C · 在失衡节点处进行一次右旋

为什么是这个答案

在左左情况中，一次右旋把左子节点提上来，恢复平衡；之字形情况需要双旋转。

答案

C · 在失衡节点处进行一次右旋
5.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1

奇度顶点

A, B, E, F → 4
都不是

答案

都不是
6.图论

答案: G

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 6, C: 2
2. C (2): E: 11, G: 14
3. B (6): D: 18, G: 9
4. G (9)
5. E (11): D: 16, F: 26
6. D (16): F: 18
7. F (18)

轮 4

G

答案

G

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