数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

贪心算法（greedy algorithm）：

  1. A总能给出最优解
  2. B在每一步都做出局部最优的选择
  3. C尝试所有可能的解
  4. D只使用递归
2.算法与复杂度困难

如果有人为某个 NP 完全问题找到了多项式时间算法，会有什么结果？

  1. A停机问题将变得可判定
  2. BNP 中的每个问题都能在多项式时间内求解，因此 P = NP
  3. C只有那一个问题会进入 P
  4. D所有指数时间算法都会立即变成线性时间
3.数据结构中等

为什么二叉堆可以不用任何指针而存储在数组中？

  1. A堆中的元素从不超过 100 个
  2. B它是完全二叉树，因此位置遵循简单的下标公式
  3. C堆中所有的键都相等
  4. D数组会自动使键保持有序，因此不需要指针
4.数据结构困难

从二叉搜索树中删除一个有两个子节点的节点，通常的做法是：

  1. A用它的中序后继（或前驱）替换它，然后删除那个节点
  2. B从头重建它下面的整棵子树，并重新插入其中包含的每个键
  3. C将它与根节点交换
  4. D删除整棵子树
5.图论中等
ABCDEFG欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 8
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
743951251414141ABCDEFG

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · 在每一步都做出局部最优的选择

为什么是这个答案

贪心算法速度快，对某些问题是最优的（例如 Dijkstra、Huffman 编码），但一般情况下并非如此（例如某些硬币体系下的找零问题）。

答案

B · 在每一步都做出局部最优的选择
2.算法与复杂度

答案: B · NP 中的每个问题都能在多项式时间内求解，因此 P = NP

为什么是这个答案

由于整个 NP 都能在多项式时间内归约到任一 NP 完全问题，其中一个问题的快速算法就给出了所有问题的快速算法。

答案

B · NP 中的每个问题都能在多项式时间内求解，因此 P = NP
3.数据结构

答案: B · 它是完全二叉树，因此位置遵循简单的下标公式

为什么是这个答案

完全性意味着没有空缺，因此下标 i 的子节点总是位于 2i + 1 和 2i + 2。

答案

B · 它是完全二叉树，因此位置遵循简单的下标公式
4.数据结构

答案: A · 用它的中序后继（或前驱）替换它，然后删除那个节点

为什么是这个答案

中序后继最多只有一个子节点，因此将其键复制到待删除节点后，可以轻松地删除它。

答案

A · 用它的中序后继（或前驱）替换它，然后删除那个节点
5.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 1, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 3

奇度顶点

A, C, E, G → 4
都不是

答案

都不是
6.图论

答案: d(F) = 21

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 7, C: 4
C (4): E: 9, G: 18
B (7): D: 16
E (9): F: 23, G: 10
G (10)
D (16): F: 21
F (21)

最短路径

A → B → D → F
d(F) = 21

答案

d(F) = 21

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