数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

递推式 T(n) = 2T(n − 1) + O(1) 的解是什么？

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n)
2.算法与复杂度困难

关于 log(n!)，哪个界是正确的？

  1. AΘ(log n)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n²)
3.数据结构中等

如何向二叉堆中插入一个新元素？

  1. A通过把所有更大的元素右移一位，将它插入到有序位置
  2. B把它放在根上，再将其下沉（sift down）
  3. C把它放在数组末尾，只要它违反堆性质就将其上浮（sift up）
  4. D从头重建整个堆
4.数据结构困难

在二叉堆中（已知元素位置），decrease-key 操作的时间复杂度是：

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
5.图论中等
ABCDEFG欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 7
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
9201810711162ABCDEF

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 6|E| = 8
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · O(2ⁿ)

为什么是这个答案

调用次数每深入一层就翻倍，共有 n 层，因此总数约为 2ⁿ，就像汉诺塔问题一样。

答案

C · O(2ⁿ)
2.算法与复杂度

答案: C · Θ(n log n)

为什么是这个答案

log(n!) ≤ n log n，而最大的 n / 2 个因子给出 log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2)；这就是比较排序需要 Ω(n log n) 的原因。

答案

C · Θ(n log n)
3.数据结构

答案: C · 把它放在数组末尾，只要它违反堆性质就将其上浮（sift up）

为什么是这个答案

在末尾添加可以使树保持完全；与父节点交换可在 O(log n) 步内恢复顺序。

答案

C · 把它放在数组末尾，只要它违反堆性质就将其上浮（sift up）
4.数据结构

答案: B · O(log n)

为什么是这个答案

减小键值后，元素最多上浮（sift up）堆的高度那么多层。斐波那契堆可实现均摊 O(1) 的 decrease-key。

答案

B · O(log n)
5.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 1, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 2

奇度顶点

A, B, C, D, E, F → 6
都不是

答案

都不是
6.图论

答案: W = 44

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

BE (2): 取
CE (7): 取
AB (9): 取
BD (10): 取
DE (11): 跳过，会形成圈
EF (16): 取

总权重

W = 2 + 7 + 9 + 10 + 16 = 44

答案

W = 44

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