数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

为什么在 Big O 中通常省略对数的底，例如写成 O(log n)？

  1. A计算机科学中所有对数的底都是 10，所以可以省略
  2. B对数总是被四舍五入为整数
  3. C底只在 n 很小时才有影响
  4. D不同底的对数之间只相差一个常数因子
2.算法与复杂度困难

Cook–Levin 定理确立了什么？

  1. A每个 NP 问题都能在指数时间内求解
  2. B停机问题是不可判定的
  3. C布尔可满足性问题（SAT）是 NP 完全的
  4. DP 不等于 NP
3.数据结构中等

一个应用需要快速查找，还需要按有序顺序列出键并回答范围查询。哪种结构最合适？

  1. A哈希表
  2. B栈
  3. C平衡二叉搜索树
  4. D无序链表
4.数据结构困难

对于键互不相同的二叉树，哪一对遍历序列总能唯一确定这棵树？

  1. A仅层序
  2. B前序和中序
  3. C仅前序
  4. D前序和后序
5.图论中等
ABCDE欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 5|E| = 6
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
121710361197ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · 不同底的对数之间只相差一个常数因子

为什么是这个答案

换底相当于把对数乘以一个常数，而 Big O 忽略常数因子。

答案

D · 不同底的对数之间只相差一个常数因子
2.算法与复杂度

答案: C · 布尔可满足性问题（SAT）是 NP 完全的

为什么是这个答案

Cook 和 Levin 各自独立地证明了 NP 中的每个问题都能在多项式时间内归约到 SAT，因此 SAT 是第一个已知的 NP 完全问题。

答案

C · 布尔可满足性问题（SAT）是 NP 完全的
3.数据结构

答案: C · 平衡二叉搜索树

为什么是这个答案

平衡 BST 提供 O(log n) 的查找并使键保持有序，因此中序遍历和范围查询都很容易；哈希表则把键打散存放。

答案

C · 平衡二叉搜索树
4.数据结构

答案: B · 前序和中序

为什么是这个答案

前序给出根，而根在中序序列中的位置把左右子树分开；当某节点只有一个子节点时，前序加后序会产生歧义。

答案

B · 前序和中序
5.图论

答案: 欧拉回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇度顶点

0
欧拉回路

答案

欧拉回路
6.图论

答案: d(F) = 13

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 12, C: 1
C (1): B: 8, E: 4
E (4): D: 10, F: 13
B (8)
D (10)
F (13)

最短路径

A → C → E → F
d(F) = 13

答案

d(F) = 13

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