数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

用标准的三重循环计算两个 n × n 矩阵的乘积，时间复杂度是多少？

AO(n)
BO(n³)
CO(n²)
DO(n² log n)

2.算法与复杂度困难

不可判定问题与难解问题有什么区别？

A两者都意味着该问题根本没有算法
B不可判定问题没有任何能处理所有输入的算法，而难解问题有算法，但太慢
C不可判定问题属于 NP，而难解问题属于 P
D难解问题无法被任何算法求解，而不可判定问题只需要指数时间

3.数据结构中等

一棵高度为 h（以边数计）的满二叉树有多少个节点？

A2^h
B2h + 1
Ch²
D2^h+1 − 1

4.数据结构困难

布隆过滤器（Bloom filter）回答"该元素是否在集合中？"时：

A可能出现假阳性，但不会出现假阴性
B总是给出精确答案
C只能回答数字的情况
D可能出现假阴性，但不会出现假阳性

5.图论中等

一棵树有 3 个度为 4 的顶点, 2 个度为 2 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

3 × deg 42 × deg 2

L =

6.图论困难

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F

d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · O(n³)

为什么是这个答案

共有 n² 个元素，每个需要 n 次乘法，因此共 n³ 次运算。

答案

B · O(n³)

2.算法与复杂度

答案: B · 不可判定问题没有任何能处理所有输入的算法，而难解问题有算法，但太慢

为什么是这个答案

停机问题根本没有算法；TSP 这样的 NP 难问题可以用蛮力法求解，只是没有已知的多项式时间算法。

答案

B · 不可判定问题没有任何能处理所有输入的算法，而难解问题有算法，但太慢

3.数据结构

答案: D · 2^h+1 − 1

为什么是这个答案

求和 1 + 2 + 4 + ... + 2^h 得到 2^h+1 − 1；例如，高度为 2 时有 7 个节点。

答案

D · 2^h+1 − 1

4.数据结构

答案: A · 可能出现假阳性，但不会出现假阴性

为什么是这个答案

如果某元素对应的任一位为 0，则它一定不存在；如果全部为 1，则它很可能存在。布隆过滤器以牺牲准确性换取极少的内存占用。

答案

A · 可能出现假阳性，但不会出现假阴性

5.图论

答案: L = 8

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 16 = 2(L + 5) − 2

L = 8

答案

L = 8

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: d(F) = 19

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 4

B (4): C: 15, D: 7, G: 17

D (7): E: 18, F: 21, G: 11

G (11): C: 14, E: 16

C (14)

E (16): F: 19

F (19)

最短路径

A → B → D → G → E → F

d(F) = 19

答案

d(F) = 19

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