数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

递推式 T(n) = T(n/2) + O(1) 的解是什么？

AO(n)
BO(n log n)
CO(1)
DO(log n)

2.算法与复杂度困难

2²ⁿ 属于 O(2ⁿ) 吗？

A属于，因为两者都是指数级的
B不属于，因为 2²ⁿ = 4ⁿ，而 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ 无界地增长
C不属于，因为 2²ⁿ 增长得比 2ⁿ 慢
D属于，因为在 Big O 中指数里的常数因子总是被忽略

3.数据结构中等

后缀表达式 3 4 + 2 * 的值是多少？

4.数据结构困难

红黑树必须满足哪条性质？

A根节点必须是红色
B从任一节点到其所有后代叶子的每条路径上，黑色节点的数量都相同
C每个红色节点的子节点必须是红色，因此红色节点总是沿着通向叶子的路径连成不间断的链
D每个节点都必须是红色

5.图论中等

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 8

1欧拉回路
2有欧拉通路，无回路
3都不是

6.图论困难

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F

d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · O(log n)

为什么是这个答案

问题规模每一步减半，每步的工作量是常数，因此大约有 log₂ n 步。

答案

D · O(log n)

2.算法与复杂度

答案: B · 不属于，因为 2²ⁿ = 4ⁿ，而 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ 无界地增长

为什么是这个答案

在指数上加一个常数只得到一个常数因子，但用常数乘以指数会改变底数和增长率。

答案

B · 不属于，因为 2²ⁿ = 4ⁿ，而 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ 无界地增长

3.数据结构

答案: B · 14

为什么是这个答案

压入 3 和 4，+ 得到 7；压入 2，* 得到 7 × 2 = 14。

答案

B · 14

4.数据结构

答案: B · 从任一节点到其所有后代叶子的每条路径上，黑色节点的数量都相同

为什么是这个答案

红黑树规则：节点为红色或黑色，根为黑色，红色节点的子节点为黑色，所有路径的黑高相同，从而使高度 ≤ 2 log₂(n + 1)。

答案

B · 从任一节点到其所有后代叶子的每条路径上，黑色节点的数量都相同

5.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 1, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 1, deg(G) = 3

奇度顶点

A, B, C, D, F, G → 6

都不是

答案

都不是

6.图论

答案: d(F) = 31

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): C: 15

C (15): B: 22, E: 24, G: 29

B (22): D: 31, G: 24

E (24): D: 27

G (24)

D (27): F: 31

F (31)

最短路径

A → C → E → D → F

d(F) = 31

答案

d(F) = 31

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