数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

贪心算法（greedy algorithm）：

  1. A尝试所有可能的解
  2. B在每一步都做出局部最优的选择
  3. C总能给出最优解
  4. D只使用递归
2.算法与复杂度困难

Bellman–Ford 算法如何检测从源点可达的负权环？

  1. A在 V − 1 轮之后，检查是否还有边可以被松弛
  2. B它运行两次 Dijkstra 算法，并比较两次的距离结果
  3. C用深度优先搜索统计环的数量
  4. D检查是否有边的权重为负
3.数据结构中等

在从下标 0 开始存储于数组中的二叉堆里，下标为 i 的节点的父节点在哪里？

  1. A下标 i − 1
  2. B下标 ⌊(i − 1) / 2⌋
  3. C下标 ⌊i / 2⌋ + 1
  4. D下标 2i + 1
4.数据结构困难

关于堆排序，下列哪个说法是正确的？

  1. A它在任何输入上都以 O(n) 时间运行
  2. B它在最坏情况下以 O(n log n) 时间原地排序，但不稳定
  3. C它是稳定的，并且需要 O(n) 的额外内存
  4. D它需要一棵二叉搜索树作为额外存储，因此使用 O(n) 的额外内存
5.图论中等

完全图 K4 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K4
H =
6.图论困难
11911741312ABCDE

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 5|E| = 7
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · 在每一步都做出局部最优的选择

为什么是这个答案

贪心算法速度快，对某些问题是最优的（例如 Dijkstra、Huffman 编码），但一般情况下并非如此（例如某些硬币体系下的找零问题）。

答案

B · 在每一步都做出局部最优的选择
2.算法与复杂度

答案: A · 在 V − 1 轮之后，检查是否还有边可以被松弛

为什么是这个答案

所有真正的最短距离都会在 V − 1 轮内求出；如果某条边仍能改进，就必然存在负权环。

答案

A · 在 V − 1 轮之后，检查是否还有边可以被松弛
3.数据结构

答案: B · 下标 ⌊(i − 1) / 2⌋

为什么是这个答案

i 的子节点位于 2i + 1 和 2i + 2，因此 i 的父节点位于 ⌊(i − 1) / 2⌋；若下标从 1 开始，则为 ⌊i / 2⌋。

答案

B · 下标 ⌊(i − 1) / 2⌋
4.数据结构

答案: B · 它在最坏情况下以 O(n log n) 时间原地排序，但不稳定

为什么是这个答案

堆排序先建立最大堆，然后在同一个数组内提取最大值 n 次；远距离的交换可能打乱相等键的顺序。

答案

B · 它在最坏情况下以 O(n log n) 时间原地排序，但不稳定
5.图论

答案: H = 3

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

答案

H = 3
6.图论

答案: W = 27

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

BC (1): 取
CE (4): 取
AC (9): 取
AB (11): 跳过，会形成圈
BE (12): 跳过，会形成圈
DE (13): 取

总权重

W = 1 + 4 + 9 + 13 = 27

答案

W = 27

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms