数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

硬币面值为 1、3 和 4，金额为 6，贪心的"先取最大硬币"方法使用多少枚硬币？与最优解相比如何？

  1. A贪心用 2 枚；最优解是 2 枚
  2. B贪心用 3 枚；最优解是 2 枚
  3. C贪心用 4 枚；最优解是 3 枚
  4. D贪心用 3 枚；最优解是 3 枚
2.算法与复杂度困难

在有 V 个顶点、E 条边的图上，使用二叉堆的 Dijkstra 算法运行时间是多少？

  1. AO(V³)
  2. BO(V + E)
  3. CO((V + E) log V)
  4. DO(V × E)
3.数据结构中等

在用数组存储的二叉最小堆（索引从 0 开始）中，索引为 i 的节点的子节点位于：

  1. Ai/2 和 i/2 + 1
  2. Bi + 1 和 i + 2
  3. C2i + 1 和 2i + 2
  4. D2i 和 2i + 1
4.数据结构困难

把键 5、3、8、1 按此顺序插入一个空的基于数组的二叉最小堆。最终的数组是什么？

  1. A[1, 3, 5, 8]
  2. B[1, 5, 8, 3]
  3. C[3, 1, 8, 5]
  4. D[1, 3, 8, 5]
5.图论中等

一棵树有 3 个度为 3 的顶点, 3 个度为 2 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

3 × deg 33 × deg 2
L =
6.图论困难
51010142118132ABCDEF

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 4 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · 贪心用 3 枚；最优解是 2 枚

为什么是这个答案

贪心取 4 + 1 + 1，共 3 枚，而 3 + 3 只用 2 枚，因此对这种硬币体系贪心不是最优的；动态规划才是。

答案

B · 贪心用 3 枚；最优解是 2 枚
2.算法与复杂度

答案: C · O((V + E) log V)

为什么是这个答案

共有 V 次 extract-min 和至多 E 次 decrease-key 操作，每次为 O(log V)；斐波那契堆可将其改进为 O(E + V log V)。

答案

C · O((V + E) log V)
3.数据结构

答案: C · 2i + 1 和 2i + 2

为什么是这个答案

对于从 0 开始的数组，左子节点位于 2i + 1，右子节点位于 2i + 2，父节点位于 ⌊(i − 1)/2⌋。

答案

C · 2i + 1 和 2i + 2
4.数据结构

答案: D · [1, 3, 8, 5]

为什么是这个答案

插入 5、3、8 之后数组为 [3, 5, 8]；1 放到下标 3，先与父节点 5 交换，再与 3 交换，得到 [1, 3, 8, 5]。

答案

D · [1, 3, 8, 5]
5.图论

答案: L = 5

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 15 = 2(L + 6) − 2
L = 5

答案

L = 5

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: C

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 5, C: 10
2. B (5): D: 19, E: 7
3. E (7): C: 9, D: 18, F: 20
4. C (9)
5. D (18)
6. F (20)

轮 4

C

答案

C

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