数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

基于比较的排序在最坏情况下的下界是：

  1. AΩ(n²)
  2. BΩ(n log n)
  3. CΩ(n)
  4. DΩ(log n)
2.算法与复杂度困难

哪种算法通过反复加入不会形成环的最便宜的边来求最小生成树？

  1. AKruskal 算法
  2. BDijkstra 算法
  3. CFloyd–Warshall
  4. D从一个节点出发的 Prim 算法
3.数据结构中等

用两个栈实现一个队列：入队时压入 "in" 栈，出队时从 "out" 栈弹出，"out" 栈为空时从 "in" 栈重新填充。每次操作的均摊代价是多少？

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
4.数据结构困难

原地反转一个单链表的时间和额外空间代价各是多少？

  1. AO(n) 时间和 O(1) 额外空间
  2. BO(n log n) 时间和 O(1) 额外空间
  3. CO(n) 时间和 O(n) 额外空间
  4. DO(1) 时间和 O(1) 额外空间
5.图论中等
ABCDEFG欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 9
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
81314111272ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · Ω(n log n)

为什么是这个答案

任何比较排序在最坏情况下至少需要 log₂(n!) ≈ n log n 次比较。计数排序能突破这一下界，因为它不进行比较。

答案

B · Ω(n log n)
2.算法与复杂度

答案: A · Kruskal 算法

为什么是这个答案

Kruskal 按权重对边排序，若一条边连接不同的连通分量就加入它；Prim 则从一个起始顶点开始扩展一棵树。

答案

A · Kruskal 算法
3.数据结构

答案: A · O(1)

为什么是这个答案

每个元素总共最多被压入和弹出各两次，因此尽管一次重新填充可能需要 O(n)，整个操作序列的平均代价是 O(1)。

答案

A · O(1)
4.数据结构

答案: A · O(n) 时间和 O(1) 额外空间

为什么是这个答案

保持三个指针（previous、current、next），就可以在一次遍历中反转每个链接，而无需分配新节点。

答案

A · O(n) 时间和 O(1) 额外空间
5.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 3

奇度顶点

D, E, F, G → 4
都不是

答案

都不是
6.图论

答案: d(F) = 13

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 8
B (8): C: 21, D: 22, E: 10
E (10): D: 11, F: 17
D (11): F: 13
F (13)
C (21)

最短路径

A → B → E → D → F
d(F) = 13

答案

d(F) = 13

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