数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

为什么在 Big O 中通常省略对数的底，例如写成 O(log n)？

  1. A底只在 n 很小时才有影响
  2. B对数总是被四舍五入为整数
  3. C不同底的对数之间只相差一个常数因子
  4. D计算机科学中所有对数的底都是 10，所以可以省略
2.算法与复杂度困难

要证明一个判定问题 X 是 NP 完全的，必须证明哪两点？

  1. AX 属于 NP，并且某个已知的 NP 完全问题能在多项式时间内归约到 X
  2. BX 属于 P，并且 X 能归约到 SAT
  3. CX 能归约到 P 中的某个问题，并且 X 属于 NP
  4. DX 没有多项式算法，并且 X 是可判定的
3.数据结构中等

深度优先搜索（迭代版本）使用哪种数据结构？

  1. A队列
  2. B仅哈希表
  3. C栈
  4. D堆
4.数据结构困难

在简单均匀哈希假设下，在含 n 个键、m 个桶的拉链法哈希表中查找的期望时间是多少？

  1. AO(log n)
  2. BO(1 + α)，其中 α = n / m
  3. CO(m)
  4. DO(n)
5.图论中等
ABCDEFG欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 11
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
611415521527ABCDEFG

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 3 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · 不同底的对数之间只相差一个常数因子

为什么是这个答案

换底相当于把对数乘以一个常数，而 Big O 忽略常数因子。

答案

C · 不同底的对数之间只相差一个常数因子
2.算法与复杂度

答案: A · X 属于 NP，并且某个已知的 NP 完全问题能在多项式时间内归约到 X

为什么是这个答案

属于 NP 说明 X 不比 NP 更难；从已知 NP 完全问题出发的归约说明 X 至少和整个 NP 一样难。

答案

A · X 属于 NP，并且某个已知的 NP 完全问题能在多项式时间内归约到 X
3.数据结构

答案: C · 栈

为什么是这个答案

DFS 尽可能向深处探索，自然地使用栈（或递归的调用栈）；BFS 使用队列。

答案

C · 栈
4.数据结构

答案: B · O(1 + α)，其中 α = n / m

为什么是这个答案

计算哈希的代价是 O(1)，链的期望长度为 α，因此通过扩容使 α 有界，就能得到 O(1) 的期望时间。

答案

B · O(1 + α)，其中 α = n / m
5.图论

答案: 有欧拉通路，无回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

奇度顶点

A, B → 2
有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

6.图论

答案: D

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 6, C: 11
2. B (6): D: 10
3. D (10): E: 25, F: 15, G: 12
4. C (11)
5. G (12): E: 19
6. F (15): E: 17
7. E (17)

轮 3

D

答案

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms