数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

Floyd–Warshall 算法计算什么？速度如何？

  1. A以 O(V³) 计算所有顶点对之间的最短路径
  2. B以 O(V²) 计算拓扑序
  3. C以 O(E log V) 计算最小生成树
  4. D以 O(V + E) 计算从一个源顶点到所有其他顶点的最短路径
2.算法与复杂度困难

取一个极大匹配中每条边的两个端点，可以得到一个顶点覆盖。这个覆盖有多好？

  1. A至多是最小值的 log n 倍
  2. B与最优解相比质量未知
  3. C总是一个最小顶点覆盖
  4. D至多是最小顶点覆盖大小的两倍
3.数据结构中等

在字母表固定的字典树中查找一个长度为 L 的单词需要多长时间？

  1. AO(n)，其中 n 是单词个数
  2. BO(log n)，其中 n 是单词个数
  3. CO(L × n)
  4. DO(L)，与存储了多少个单词无关
4.数据结构困难

如何只用 O(1) 的额外内存检测一个单链表中是否有环？

  1. A计数节点，直到计数超过链表的长度字段
  2. B对链表排序并寻找重复元素
  3. C把每个访问过的节点存入一个哈希集合
  4. D让一个指针每次走一步，另一个每次走两步，检查它们是否相遇
5.图论中等

一棵树有 2 个度为 3 的顶点, 3 个度为 2 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

2 × deg 33 × deg 2
L =
6.图论困难
1091354813ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · 以 O(V³) 计算所有顶点对之间的最短路径

为什么是这个答案

Floyd–Warshall 是一种动态规划算法，依次允许每个顶点作为中间点，耗时 O(V³)。

答案

A · 以 O(V³) 计算所有顶点对之间的最短路径
2.算法与复杂度

答案: D · 至多是最小顶点覆盖大小的两倍

为什么是这个答案

匹配边之间没有公共顶点，因此最优解对每条边至少需要一个顶点，而这种方法取了两个：这是一个 2-近似算法。

答案

D · 至多是最小顶点覆盖大小的两倍
3.数据结构

答案: D · O(L)，与存储了多少个单词无关

为什么是这个答案

每个字符选择一个子节点，因此无论字典树中有多少单词，一次查找都只需 L 步。

答案

D · O(L)，与存储了多少个单词无关
4.数据结构

答案: D · 让一个指针每次走一步，另一个每次走两步，检查它们是否相遇

为什么是这个答案

在 Floyd 算法中，如果有环，快指针最终会追上慢指针；否则快指针会到达 null。

答案

D · 让一个指针每次走一步，另一个每次走两步，检查它们是否相遇
5.图论

答案: L = 4

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 12 = 2(L + 5) − 2
L = 4

答案

L = 4

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: d(F) = 14

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 10, C: 9
C (9): E: 13
B (10): D: 15
E (13): F: 14
F (14)
D (15)

最短路径

A → C → E → F
d(F) = 14

答案

d(F) = 14

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