数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

关于一个没有可达基本情况的递归函数，下列哪个说法是正确的？

  1. A编译器总会把它变成能安全结束的循环
  2. B它的运行时间为 O(1)
  3. C它会自动返回 0
  4. D它会不断调用自身，直到调用栈溢出
2.算法与复杂度困难

插入排序在有序输入上运行时间为 O(n)。这与比较排序的 Ω(n log n) 下界矛盾吗？

  1. A不矛盾，下界针对的是所有输入中的最坏情况，而不是每一个输入
  2. B不矛盾，因为插入排序不是比较排序
  3. C矛盾，因此这个下界是错的
  4. D矛盾，但仅对长度小于 100 的数组
3.数据结构中等

一个道路网络有 100,000 个路口，每个路口大约与另外 4 个路口相连。哪种表示方法最合适？

  1. A一个由边组成的二叉堆
  2. B邻接矩阵
  3. C邻接表
  4. D一个有序的顶点数组
4.数据结构困难

如何只用 O(1) 的额外内存检测一个单链表中是否有环？

  1. A让一个指针每次走一步，另一个每次走两步，检查它们是否相遇
  2. B把每个访问过的节点存入一个哈希集合
  3. C计数节点，直到计数超过链表的长度字段
  4. D对链表排序并寻找重复元素
5.图论中等

一个连通图有 8 个顶点和 16 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 8|E| = 16
k =
6.图论困难
141381117611610520ABCDEFG

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 7|E| = 11
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · 它会不断调用自身，直到调用栈溢出

为什么是这个答案

没有基本情况，递归就永远不会停止；实际上栈帧所需的内存会耗尽，程序随之崩溃。

答案

D · 它会不断调用自身，直到调用栈溢出
2.算法与复杂度

答案: A · 不矛盾，下界针对的是所有输入中的最坏情况，而不是每一个输入

为什么是这个答案

该下界是说，每种比较排序在某个规模为 n 的输入上都需要大约 n log n 次比较；特殊的输入可能快得多。

答案

A · 不矛盾，下界针对的是所有输入中的最坏情况，而不是每一个输入
3.数据结构

答案: C · 邻接表

为什么是这个答案

矩阵需要 1010 个单元，几乎全是空的；邻接表只存储大约 400,000 个边表项。

答案

C · 邻接表
4.数据结构

答案: A · 让一个指针每次走一步，另一个每次走两步，检查它们是否相遇

为什么是这个答案

在 Floyd 算法中，如果有环，快指针最终会追上慢指针；否则快指针会到达 null。

答案

A · 让一个指针每次走一步，另一个每次走两步，检查它们是否相遇
5.图论

答案: k = 9

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

8 − 1 = 7

要去掉的边数

k = 16 − 7 = 9

答案

k = 9
6.图论

答案: W = 43

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

DF (1): 取
GD (5): 取
DE (6): 取
BC (8): 取
GB (10): 取
BD (11): 跳过，会形成圈
AC (13): 取

总权重

W = 1 + 5 + 6 + 8 + 10 + 13 = 43

答案

W = 43

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