数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

在包含 1,000,000 个元素的有序数组上，二分查找在最坏情况下大约需要多少次比较？

  1. A约 100 次
  2. B约 20 次
  3. C约 1,000 次
  4. D约 500,000 次
2.算法与复杂度困难

如果有人为某个 NP 完全问题找到了多项式时间算法，会有什么结果？

  1. ANP 中的每个问题都能在多项式时间内求解，因此 P = NP
  2. B所有指数时间算法都会立即变成线性时间
  3. C停机问题将变得可判定
  4. D只有那一个问题会进入 P
3.数据结构中等

哈希表在负载因子超过阈值后进行再哈希（rehash）时会发生什么？

  1. A删除最旧的键以腾出空间
  2. B分配一个更大的表，并把每个键重新插入
  3. C对现有的键原地排序
  4. D只把发生冲突的键移到表末尾的新溢出链表中
4.数据结构困难

在二叉堆中（已知元素位置），decrease-key 操作的时间复杂度是：

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
5.图论中等
ABCDEF欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 6|E| = 6
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
1010131421341115ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · 约 20 次

为什么是这个答案

220 ≈ 1,048,576，因此大约减半 20 次后只剩下一个元素。

答案

B · 约 20 次
2.算法与复杂度

答案: A · NP 中的每个问题都能在多项式时间内求解，因此 P = NP

为什么是这个答案

由于整个 NP 都能在多项式时间内归约到任一 NP 完全问题，其中一个问题的快速算法就给出了所有问题的快速算法。

答案

A · NP 中的每个问题都能在多项式时间内求解，因此 P = NP
3.数据结构

答案: B · 分配一个更大的表，并把每个键重新插入

为什么是这个答案

由于下标是对表大小取模计算的，所有键都必须重新哈希到新的更大的表中；采用翻倍策略时，均摊代价仍为 O(1)。

答案

B · 分配一个更大的表，并把每个键重新插入
4.数据结构

答案: D · O(log n)

为什么是这个答案

减小键值后，元素最多上浮（sift up）堆的高度那么多层。斐波那契堆可实现均摊 O(1) 的 decrease-key。

答案

D · O(log n)
5.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 4, deg(F) = 1

奇度顶点

A, C, D, F → 4
都不是

答案

都不是
6.图论

答案: d(F) = 23

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 10, C: 10
B (10): D: 24, E: 25
C (10): E: 12
E (12): F: 23
F (23)
D (24)

最短路径

A → C → E → F
d(F) = 23

答案

d(F) = 23

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