数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

Prim 算法如何构建最小生成树？

  1. A不断删除最贵的边，直到没有环为止
  2. B把所有边按权重排序，逐条加入，除非会在森林中形成环
  3. C运行广度优先搜索并保留 BFS 树
  4. D从一个起始顶点开始扩展一棵树，每次加入离开该树的最便宜的边
2.算法与复杂度困难

对于哪种背包问题变体，贪心规则"按单位重量价值的顺序取物品"总能给出最优解？

  1. A0/1 背包问题，物品必须整个拿取
  2. B分数背包问题，物品可以分割
  3. C两种变体都可以
  4. D两种变体都不可以
3.数据结构中等

对于有 V 个顶点、E 条边的图，邻接表占用多少内存？

  1. AO(V²)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V + E)
  4. DO(E²)
4.数据结构困难

在二叉堆中（已知元素位置），decrease-key 操作的时间复杂度是：

  1. AO(1)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
5.图论中等

完全图 K6 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K6
H =
6.图论困难
ABCDE

从 E 到 C 的长度为 2 的途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 2
N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · 从一个起始顶点开始扩展一棵树，每次加入离开该树的最便宜的边

为什么是这个答案

Prim 算法用优先队列保存跨越边，使用二叉堆时运行时间为 O(E log V)。

答案

D · 从一个起始顶点开始扩展一棵树，每次加入离开该树的最便宜的边
2.算法与复杂度

答案: B · 分数背包问题，物品可以分割

为什么是这个答案

物品可以分割时，先取比值最高的物品是最优的；在 0/1 背包中，一个比值高的物品可能挡住更好的组合，因此需要动态规划。

答案

B · 分数背包问题，物品可以分割
3.数据结构

答案: C · O(V + E)

为什么是这个答案

每个顶点有一个列表，每条边出现一次（有向图）或两次（无向图），因此为 O(V + E)。

答案

C · O(V + E)
4.数据结构

答案: D · O(log n)

为什么是这个答案

减小键值后，元素最多上浮（sift up）堆的高度那么多层。斐波那契堆可实现均摊 O(1) 的 decrease-key。

答案

D · O(log n)
5.图论

答案: H = 60

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

答案

H = 60
6.图论

答案: N = 1

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

公共邻点

(M²)EC = 0·1 + 1·1 + 1·0 + 1·0 + 0·1 = 1

答案

N = 1

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