数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

简单的递归阶乘函数 fact(n) = n × fact(n − 1) 使用多少栈空间？

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
2.算法与复杂度困难

为什么哈希表的平均查找时间是 O(1)，而最坏情况是 O(n)？

  1. A数组的访问时间是 O(n)
  2. B键必须先排序
  3. C许多键可能冲突（collision）到同一个桶中
  4. D哈希函数运行很慢
3.数据结构中等

在字母表固定的字典树中查找一个长度为 L 的单词需要多长时间？

  1. AO(n)，其中 n 是单词个数
  2. BO(L)，与存储了多少个单词无关
  3. CO(log n)，其中 n 是单词个数
  4. DO(L × n)
4.数据结构困难

为什么不能简单地通过清除位来从标准布隆过滤器中删除元素？

  1. A布隆过滤器存储完整的元素，而这些元素一旦被哈希就无法再找回
  2. B这些位可能同时属于其他元素，从而导致假阴性
  3. C布隆过滤器中的位在创建后不能更改
  4. D删除会使假阳性率增加到 100%
5.图论中等
ABCDEFG欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 9
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
413146129111ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · O(n)

为什么是这个答案

在任何调用返回之前，递归深度达到 n 层，每次调用都需要一个栈帧，因此使用 O(n) 的空间。

答案

D · O(n)
2.算法与复杂度

答案: C · 许多键可能冲突（collision）到同一个桶中

为什么是这个答案

在哈希函数和负载因子（load factor）良好的情况下，桶的平均长度很短；恶意构造的输入或较差的哈希可能把所有键放进同一个桶。

答案

C · 许多键可能冲突（collision）到同一个桶中
3.数据结构

答案: B · O(L)，与存储了多少个单词无关

为什么是这个答案

每个字符选择一个子节点，因此无论字典树中有多少单词，一次查找都只需 L 步。

答案

B · O(L)，与存储了多少个单词无关
4.数据结构

答案: B · 这些位可能同时属于其他元素，从而导致假阴性

为什么是这个答案

清除一个共享的位会使另一个元素看起来不存在；计数布隆过滤器用计数器代替位，从而允许删除。

答案

B · 这些位可能同时属于其他元素，从而导致假阴性
5.图论

答案: 欧拉回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 2

奇度顶点

0
欧拉回路

答案

欧拉回路
6.图论

答案: d(F) = 16

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 4, C: 13
B (4): D: 18, E: 15
C (13)
E (15): F: 16
F (16)
D (18)

最短路径

A → B → E → F
d(F) = 16

答案

d(F) = 16

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms