数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

关于一个没有可达基本情况的递归函数，下列哪个说法是正确的？

  1. A它的运行时间为 O(1)
  2. B编译器总会把它变成能安全结束的循环
  3. C它会不断调用自身，直到调用栈溢出
  4. D它会自动返回 0
2.算法与复杂度困难

一个问题是 NP 完全（NP-complete）的，当且仅当它：

  1. A不可能被解决
  2. B属于 NP，且所有 NP 问题都能在多项式时间内归约到它
  3. C可以在多项式时间内解决
  4. D不属于 NP，但比所有 NP 问题都难，例如停机问题
3.数据结构中等

AVL 树在每个节点上维持什么平衡条件？

  1. A每个节点的两棵子树包含完全相同数量的节点
  2. B所有叶子都恰好位于同一深度
  3. C左右子树的高度之差至多为 1
  4. D每个节点都被着成红色或黑色
4.数据结构困难

从二叉搜索树中删除一个有两个子节点的节点，通常的做法是：

  1. A将它与根节点交换
  2. B删除整棵子树
  3. C用它的中序后继（或前驱）替换它，然后删除那个节点
  4. D从头重建它下面的整棵子树，并重新插入其中包含的每个键
5.图论中等

一棵树有 3 个度为 4 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

3 × deg 4
L =
6.图论困难
8810138914101014ABCDEFG

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · 它会不断调用自身，直到调用栈溢出

为什么是这个答案

没有基本情况，递归就永远不会停止；实际上栈帧所需的内存会耗尽，程序随之崩溃。

答案

C · 它会不断调用自身，直到调用栈溢出
2.算法与复杂度

答案: B · 属于 NP，且所有 NP 问题都能在多项式时间内归约到它

为什么是这个答案

NP 完全问题是 NP 中最难的问题；只要其中一个有多项式算法，整个 NP 就都有多项式算法。

答案

B · 属于 NP，且所有 NP 问题都能在多项式时间内归约到它
3.数据结构

答案: C · 左右子树的高度之差至多为 1

为什么是这个答案

平衡因子（左子树高度 − 右子树高度）必须为 −1、0 或 1；插入和删除之后通过旋转来恢复平衡。

答案

C · 左右子树的高度之差至多为 1
4.数据结构

答案: C · 用它的中序后继（或前驱）替换它，然后删除那个节点

为什么是这个答案

中序后继最多只有一个子节点，因此将其键复制到待删除节点后，可以轻松地删除它。

答案

C · 用它的中序后继（或前驱）替换它，然后删除那个节点
5.图论

答案: L = 8

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 12 = 2(L + 3) − 2
L = 8

答案

L = 8

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: d(F) = 35

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 8
B (8): C: 16, G: 22
C (16): E: 26
G (22): D: 32
E (26): F: 35
D (32)
F (35)

最短路径

A → B → C → E → F
d(F) = 35

答案

d(F) = 35

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