数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

用标准的三重循环计算两个 n × n 矩阵的乘积，时间复杂度是多少？

  1. AO(n)
  2. BO(n² log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n³)
2.算法与复杂度困难

当 n 很大时，n! 与 2ⁿ 相比如何？

  1. A两者以相同的速率增长
  2. B2ⁿ 比 n! 增长得快
  3. Cn! 比 2ⁿ 增长得快
  4. Dn! 是 O(n²)
3.数据结构中等

你持有一个位于链表中间的节点的引用。在哪种链表中可以在 O(1) 内删除它？

  1. A单链表
  2. B有序数组
  3. C双向链表
  4. D动态数组
4.数据结构困难

在含 n 个元素的二叉最小堆中查找任意一个键需要多长时间？

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(log log n)
  4. DO(1)
5.图论中等

一个连通图有 19 个顶点和 23 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 19|E| = 23
k =
6.图论困难
11103149172021513ABCDEFG

普里姆算法从顶点 A 出发构造最小生成树。点选它加入的第 2 条边。

起点：Ak = 2
  1. 1边 AB
  2. 2边 AC
  3. 3边 BC
  4. 4边 CE
  5. 5边 DE
  6. 6边 DF
  7. 7边 EF
  8. 8边 GB
  9. 9边 GD
  10. 10边 GE

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · O(n³)

为什么是这个答案

共有 n² 个元素，每个需要 n 次乘法，因此共 n³ 次运算。

答案

D · O(n³)
2.算法与复杂度

答案: C · n! 比 2ⁿ 增长得快

为什么是这个答案

当 n ≥ 4 时，n! 超过 2ⁿ，而且两者之比无界地增长，因为 n! 每多出的一个因子都大于 2。

答案

C · n! 比 2ⁿ 增长得快
3.数据结构

答案: C · 双向链表

为什么是这个答案

双向链表的节点知道其前驱，因此可以直接重新连接 prev 和 next；单链表必须查找前驱。

答案

C · 双向链表
4.数据结构

答案: B · O(n)

为什么是这个答案

堆没有规定哪棵子树包含某个键，因此在最坏情况下必须检查所有节点；只有最小值能被快速找到。

答案

B · O(n)
5.图论

答案: k = 5

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

19 − 1 = 18

要去掉的边数

k = 23 − 18 = 5

答案

k = 5
6.图论

答案: 边 BC

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

普里姆算法

1. AC (10)
2. BC (3)
3. GB (2)
4. GE (13)
5. DE (9)
6. DF (17)

边的序号 2

BC

答案

边 BC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms