数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

递推式 T(n) = 2T(n/2) + O(1) 的解是什么？

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.算法与复杂度困难

下面代码的时间复杂度是多少：for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) 执行 O(1) 的工作？

  1. AO(n log n)
  2. BO(n √n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
3.数据结构中等

在用数组存储的二叉最小堆（索引从 0 开始）中，索引为 i 的节点的子节点位于：

  1. Ai/2 和 i/2 + 1
  2. B2i + 1 和 2i + 2
  3. C2i 和 2i + 1
  4. Di + 1 和 i + 2
4.数据结构困难

你必须用 O(k) 的内存从 n 个数的数据流中保留最小的 k 个值。哪种方法能在 O(n log k) 时间内完成？

  1. A一个保存全部 n 个值的最小堆，最后从中弹出 k 个最小值
  2. B一个保存最后 k 个值的 FIFO 队列
  3. C一个大小为 k 的最大堆，当出现更小的值时替换其根
  4. D一个包含全部 n 个值的有序数组
5.图论中等
ABCDEFG欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 12
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
1814495120ABCDE

普里姆算法从顶点 E 出发构造最小生成树。点选它加入的第 2 条边。

起点：Ek = 2
  1. 1边 AB
  2. 2边 AC
  3. 3边 BC
  4. 4边 BD
  5. 5边 CE
  6. 6边 DE
  7. 7边 BE

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · O(n)

为什么是这个答案

根据主定理，nlog₂ 2 = n 压过常数工作量，因此 T(n) = Θ(n)，例如通过对半分割来求最大值。

答案

A · O(n)
2.算法与复杂度

答案: A · O(n log n)

为什么是这个答案

总数为 n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn，而调和数 Hn 是 Θ(log n)。

答案

A · O(n log n)
3.数据结构

答案: B · 2i + 1 和 2i + 2

为什么是这个答案

对于从 0 开始的数组，左子节点位于 2i + 1，右子节点位于 2i + 2，父节点位于 ⌊(i − 1)/2⌋。

答案

B · 2i + 1 和 2i + 2
4.数据结构

答案: C · 一个大小为 k 的最大堆，当出现更小的值时替换其根

为什么是这个答案

最大堆的根是所保留值中最大的；任何更小的新值都以 O(log k) 替换它，因此堆中始终保存着迄今为止最小的 k 个值。

答案

C · 一个大小为 k 的最大堆，当出现更小的值时替换其根
5.图论

答案: 欧拉回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

奇度顶点

0
欧拉回路

答案

欧拉回路
6.图论

答案: 边 CE

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

普里姆算法

1. DE (1)
2. CE (5)
3. BC (4)
4. AC (14)

边的序号 2

CE

答案

边 CE

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