数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

当问题具有以下特征时，动态规划（dynamic programming）很有用：

  1. A完全没有子问题，因此一步就能解决
  2. B只有一个循环
  3. C只有随机输入
  4. D重叠子问题和最优子结构
2.算法与复杂度困难

关于 log(n!)，哪个界是正确的？

  1. AΘ(log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n)
  4. DΘ(n log n)
3.数据结构中等

含 V 个顶点的图的邻接矩阵占用多少内存？

  1. AO(log V)
  2. BO(E)
  3. CO(V²)
  4. DO(V + E)
4.数据结构困难

红黑树的规则对含 n 个键的树的高度给出了什么保证？

  1. A高度至多为 n / 2
  2. B高度恰好为 log2 n
  3. C高度至多为 2 log2(n + 1)
  4. D高度至多为 log2 n + 1
5.图论中等
ABCDE欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 5|E| = 6
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
175414156411ABCDEFG

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 5 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · 重叠子问题和最优子结构

为什么是这个答案

存储重叠子问题的结果（记忆化或制表）可以避免重复计算，把指数时间算法变成多项式时间算法。

答案

D · 重叠子问题和最优子结构
2.算法与复杂度

答案: D · Θ(n log n)

为什么是这个答案

log(n!) ≤ n log n，而最大的 n / 2 个因子给出 log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2)；这就是比较排序需要 Ω(n log n) 的原因。

答案

D · Θ(n log n)
3.数据结构

答案: C · O(V²)

为什么是这个答案

邻接矩阵存储 V × V 个元素，适合稠密图；邻接表占用 O(V + E)，更适合稀疏图。

答案

C · O(V²)
4.数据结构

答案: C · 高度至多为 2 log2(n + 1)

为什么是这个答案

每条路径上的黑色节点数相同，且红色节点不能相邻，因此最长路径至多是最短路径的两倍，从而高度为 O(log n)。

答案

C · 高度至多为 2 log2(n + 1)
5.图论

答案: 欧拉回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇度顶点

0
欧拉回路

答案

欧拉回路
6.图论

答案: G

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 1
2. B (1): C: 8, D: 6
3. D (6): E: 20, F: 21, G: 10
4. C (8): E: 12
5. G (10)
6. E (12): F: 18
7. F (18)

轮 5

G

答案

G

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