数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

对于在满时将容量翻倍的动态数组，追加元素的均摊（amortised）时间复杂度是多少？

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(1)
  4. DO(n²)
2.算法与复杂度困难

哪种算法通过反复加入不会形成环的最便宜的边来求最小生成树？

  1. A从一个节点出发的 Prim 算法
  2. BDijkstra 算法
  3. CKruskal 算法
  4. DFloyd–Warshall
3.数据结构中等

在存储于容量为 n 的数组中的循环队列里，下标 i 之后的下一个位置如何计算？

  1. A(i + 1) mod n
  2. B2i + 1
  3. Ci + 1
  4. D(i − 1) mod n
4.数据结构困难

一个 AVL 节点失衡，原因是其左子节点的右子树变得过高（左右情况）。应采用哪种修正？

  1. A先在左子节点处右旋，再在该节点处左旋
  2. B在该节点处进行一次左旋
  3. C在该节点处进行一次右旋
  4. D先在左子节点处左旋，再在该节点处右旋
5.图论中等

一棵树有 4 个度为 3 的顶点, 2 个度为 4 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

4 × deg 32 × deg 4
L =
6.图论困难
81421115131210314ABCDEFG

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 5 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · O(1)

为什么是这个答案

只有在元素个数达到 2 的幂时才会复制全部元素；将其分摊到所有追加操作上，每次追加的平均代价是常数。

答案

C · O(1)
2.算法与复杂度

答案: C · Kruskal 算法

为什么是这个答案

Kruskal 按权重对边排序，若一条边连接不同的连通分量就加入它；Prim 则从一个起始顶点开始扩展一棵树。

答案

C · Kruskal 算法
3.数据结构

答案: A · (i + 1) mod n

为什么是这个答案

取模运算把下标 n − 1 回绕到 0，因此数组可以被重复使用而无需移动元素。

答案

A · (i + 1) mod n
4.数据结构

答案: D · 先在左子节点处左旋，再在该节点处右旋

为什么是这个答案

第一次旋转把左右情况转换为左左情况，然后在失衡节点处右旋即可修正。

答案

D · 先在左子节点处左旋，再在该节点处右旋
5.图论

答案: L = 10

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 20 = 2(L + 6) − 2
L = 10

答案

L = 10

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: G

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 8, C: 14
2. B (8): C: 10, D: 9, G: 20
3. D (9): E: 14, F: 22, G: 12
4. C (10)
5. G (12)
6. E (14)
7. F (22)

轮 5

G

答案

G

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