数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

对 n 个 k 进制、d 位的整数进行 LSD 基数排序（radix sort），运行时间是多少？

  1. AO(dn log k)
  2. BO(d(n + k))
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.算法与复杂度困难

关于 P 和 NP，下列哪个说法是正确的？

  1. A已经证明 P ≠ NP
  2. BNP 表示“not polynomial”（非多项式）
  3. CNP 问题无法被快速验证
  4. DP 中的每个问题也都属于 NP
3.数据结构中等

为什么在实践中遍历数组往往比遍历同样长度的链表快得多？

  1. A数组遍历总共是 O(1)，而链表遍历是 O(n)
  2. B数组元素是连续存放的，因此能很好地利用 CPU 缓存
  3. C链表总是把元素存储在磁盘上
  4. D数组比较数值所用的指令更少
4.数据结构困难

在简单均匀哈希假设下，在含 n 个键、m 个桶的拉链法哈希表中查找的期望时间是多少？

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(1 + α)，其中 α = n / m
  4. DO(m)
5.图论中等

一棵树有 2 个度为 5 的顶点, 2 个度为 2 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

2 × deg 52 × deg 2
L =
6.图论困难
11119410178ABCDE

普里姆算法从顶点 A 出发构造最小生成树。点选它加入的第 3 条边。

起点：Ak = 3
  1. 1边 AB
  2. 2边 AC
  3. 3边 BC
  4. 4边 BD
  5. 5边 CE
  6. 6边 DE
  7. 7边 BE

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · O(d(n + k))

为什么是这个答案

d 趟中的每一趟都是代价为 O(n + k) 的计数排序，因此当 d 和 k 固定时，总时间关于 n 是线性的。

答案

B · O(d(n + k))
2.算法与复杂度

答案: D · P 中的每个问题也都属于 NP

为什么是这个答案

P ⊆ NP：如果你能快速解决一个问题，你就能快速验证一个解。P 是否等于 NP 仍是一个未解决的问题。

答案

D · P 中的每个问题也都属于 NP
3.数据结构

答案: B · 数组元素是连续存放的，因此能很好地利用 CPU 缓存

为什么是这个答案

连续的内存带来良好的引用局部性，而链表节点可能分散各处，导致大量缓存未命中。

答案

B · 数组元素是连续存放的，因此能很好地利用 CPU 缓存
4.数据结构

答案: C · O(1 + α)，其中 α = n / m

为什么是这个答案

计算哈希的代价是 O(1)，链的期望长度为 α，因此通过扩容使 α 有界，就能得到 O(1) 的期望时间。

答案

C · O(1 + α)，其中 α = n / m
5.图论

答案: L = 8

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 14 = 2(L + 4) − 2
L = 8

答案

L = 8

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: 边 BE

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

普里姆算法

1. AC (1)
2. CE (10)
3. BE (8)
4. BD (4)

边的序号 3

BE

答案

边 BE

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