数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

在活动选择问题中，哪条贪心规则总能得到数量最多的互不重叠的活动？

  1. A选择最早开始的活动
  2. B选择最早结束的活动，然后在与之相容的活动中重复这一步
  3. C先选择最短的活动
  4. D先选择与其他活动重叠最少的活动，然后在与之相容的活动中重复这一步
2.算法与复杂度困难

用自底向上的方法从 n 个无序元素构建二叉堆的时间复杂度是多少？

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
3.数据结构中等

一棵高度为 h（以边数计）的满二叉树有多少个节点？

  1. Ah2
  2. B2h
  3. C2h+1 − 1
  4. D2h + 1
4.数据结构困难

在含 n 个元素的二叉最小堆中查找任意一个键需要多长时间？

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(log log n)
  4. DO(n)
5.图论中等

一棵树有 4 个度为 3 的顶点, 3 个度为 4 的顶点, 3 个度为 5 的顶点, 4 个度为 2 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

4 × deg 33 × deg 43 × deg 54 × deg 2
L =
6.图论困难
8121591108614ABCDEF

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 3 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · 选择最早结束的活动，然后在与之相容的活动中重复这一步

为什么是这个答案

选择最早结束时间可以用交换论证证明是最优的；其他规则都有反例。

答案

B · 选择最早结束的活动，然后在与之相容的活动中重复这一步
2.算法与复杂度

答案: A · O(n)

为什么是这个答案

对各层的下沉代价求和得到一个收敛级数，因此建堆（heapify）在线性时间内完成。

答案

A · O(n)
3.数据结构

答案: C · 2h+1 − 1

为什么是这个答案

求和 1 + 2 + 4 + ... + 2h 得到 2h+1 − 1；例如，高度为 2 时有 7 个节点。

答案

C · 2h+1 − 1
4.数据结构

答案: D · O(n)

为什么是这个答案

堆没有规定哪棵子树包含某个键，因此在最坏情况下必须检查所有节点；只有最小值能被快速找到。

答案

D · O(n)
5.图论

答案: L = 21

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 47 = 2(L + 14) − 2
L = 21

答案

L = 21

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: C

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 8, C: 12
2. B (8): D: 17, E: 22
3. C (12): E: 13
4. E (13): F: 19
5. D (17)
6. F (19)

轮 3

C

答案

C

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