数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

说一个 O(n²) 算法也是 O(n³)，这正确吗？

A不正确，因为当 n 很大时 n³ 小于 n²
B正确，因为 Big O 是上界，而 n² 的增长不比 n³ 快
C正确，但仅当 n 小于 100 时
D不正确，因为 Big O 必须始终给出函数的确切增长率

2.算法与复杂度困难

Strassen 算法在矩阵乘法中对半尺寸的分块只做 7 次而不是 8 次递归乘法。它的运行时间是多少？

AΘ(n²)
BΘ(n³)
CΘ(n^{log₂ 7})，约为 n^2.81
DΘ(n² log n)

3.数据结构中等

Dijkstra 算法使用哪种抽象数据类型来选择下一个要处理的顶点？

A最小优先队列
B无序集合
CFIFO 队列
D栈

4.数据结构困难

基数树（压缩字典树）相比普通字典树有什么改进？

A它只保留每个单词的首字母
B它按频率对每个节点的子节点排序
C它把每个单词存储在根处的哈希表中，而不是存储在单独的节点中
D它把单子节点链合并为一条以字符串标记的边

5.图论中等

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 5|E| = 6

1欧拉回路
2有欧拉通路，无回路
3都不是

6.图论困难

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 7|E| = 10

W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · 正确，因为 Big O 是上界，而 n² 的增长不比 n³ 快

为什么是这个答案

Big O 是上界，因此这个说法是对的，但不是紧确的；Θ(n²) 给出的才是确切的增长率。

答案

B · 正确，因为 Big O 是上界，而 n² 的增长不比 n³ 快

2.算法与复杂度

答案: C · Θ(n^{log₂ 7})，约为 n^2.81

为什么是这个答案

取 a = 7、b = 2，n^{log₂ 7} 压过 O(n²) 的加法工作量，结果约为 n^2.81。

答案

C · Θ(n^{log₂ 7})，约为 n^2.81

3.数据结构

答案: A · 最小优先队列

为什么是这个答案

最小优先队列（通常是二叉堆）能高效地返回距离最小的未访问顶点。

答案

A · 最小优先队列

4.数据结构

答案: D · 它把单子节点链合并为一条以字符串标记的边

为什么是这个答案

合并没有分支的路径可以减少节点数和内存占用，同时保留前缀查找功能。

答案

D · 它把单子节点链合并为一条以字符串标记的边

5.图论

答案: 有欧拉通路，无回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 2

奇度顶点

C, D → 2

有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

6.图论

答案: W = 51

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

EF (2): 取

DF (5): 取

GE (6): 取

GD (8): 跳过，会形成圈

CE (10): 取

BC (13): 取

AC (15): 取

总权重

W = 2 + 5 + 6 + 10 + 13 + 15 = 51

答案

W = 51

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