数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

递推式 T(n) = 2T(n/2) + O(n) 的解是：

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.算法与复杂度困难

Karatsuba 乘法满足 T(n) = 3T(n/2) + O(n)。它的解是什么？

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n3)
  3. CΘ(nlog₂ 3)，约为 n1.585
  4. DΘ(n²)
3.数据结构中等

深度优先搜索（迭代版本）使用哪种数据结构？

  1. A栈
  2. B堆
  3. C仅哈希表
  4. D队列
4.数据结构困难

在简单均匀哈希假设下，在含 n 个键、m 个桶的拉链法哈希表中查找的期望时间是多少？

  1. AO(n)
  2. BO(1 + α)，其中 α = n / m
  3. CO(m)
  4. DO(log n)
5.图论中等

一个连通图有 15 个顶点和 20 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 15|E| = 20
k =
6.图论困难
931191121011ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · O(n log n)

为什么是这个答案

根据主定理（master theorem）（a = 2, b = 2, f(n) = n），T(n) = Θ(n log n)。

答案

A · O(n log n)
2.算法与复杂度

答案: C · Θ(nlog₂ 3)，约为 n1.585

为什么是这个答案

由于 log₂ 3 ≈ 1.585 > 1，根据主定理叶子层占主导，因此优于 O(n²) 的竖式乘法。

答案

C · Θ(nlog₂ 3)，约为 n1.585
3.数据结构

答案: A · 栈

为什么是这个答案

DFS 尽可能向深处探索，自然地使用栈（或递归的调用栈）；BFS 使用队列。

答案

A · 栈
4.数据结构

答案: B · O(1 + α)，其中 α = n / m

为什么是这个答案

计算哈希的代价是 O(1)，链的期望长度为 α，因此通过扩容使 α 有界，就能得到 O(1) 的期望时间。

答案

B · O(1 + α)，其中 α = n / m
5.图论

答案: k = 6

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

15 − 1 = 14

要去掉的边数

k = 20 − 14 = 6

答案

k = 6
6.图论

答案: d(F) = 25

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 9, C: 3
C (3): E: 14
B (9): D: 18
E (14): D: 16, F: 25
D (16)
F (25)

最短路径

A → C → E → F
d(F) = 25

答案

d(F) = 25

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