数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

对于在满时将容量翻倍的动态数组，追加元素的均摊（amortised）时间复杂度是多少？

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.算法与复杂度困难

取一个极大匹配中每条边的两个端点，可以得到一个顶点覆盖。这个覆盖有多好？

  1. A与最优解相比质量未知
  2. B至多是最小顶点覆盖大小的两倍
  3. C至多是最小值的 log n 倍
  4. D总是一个最小顶点覆盖
3.数据结构中等

把键 50、30、70、20、40 按此顺序插入一棵空的二叉搜索树。30 的左子节点是什么？

  1. A40
  2. B20
  3. C70
  4. D50
4.数据结构困难

哪种数据结构可以支持 get 和 put 均为 O(1) 的 LRU（最近最少使用）缓存？

  1. A仅栈
  2. B仅二叉搜索树
  3. C单个有序数组
  4. D哈希表与双向链表相结合
5.图论中等
ABCDEFG欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 9
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
15147141112411ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 D 的最短路径的长度 d(D)。

起点：A终点：D
d(D) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · O(1)

为什么是这个答案

只有在元素个数达到 2 的幂时才会复制全部元素；将其分摊到所有追加操作上，每次追加的平均代价是常数。

答案

B · O(1)
2.算法与复杂度

答案: B · 至多是最小顶点覆盖大小的两倍

为什么是这个答案

匹配边之间没有公共顶点，因此最优解对每条边至少需要一个顶点，而这种方法取了两个：这是一个 2-近似算法。

答案

B · 至多是最小顶点覆盖大小的两倍
3.数据结构

答案: B · 20

为什么是这个答案

20 比 50 小，也比 30 小，因此成为 30 的左子节点；40 成为 30 的右子节点。

答案

B · 20
4.数据结构

答案: D · 哈希表与双向链表相结合

为什么是这个答案

哈希表在 O(1) 内找到节点，双向链表在 O(1) 内将被访问的元素移到前端，并从尾部淘汰元素。

答案

D · 哈希表与双向链表相结合
5.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 3

奇度顶点

D, E, F, G → 4
都不是

答案

都不是
6.图论

答案: d(D) = 29

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 15, C: 14
C (14): E: 25
B (15): D: 29
E (25): F: 36
D (29): F: 33
F (33)

最短路径

A → B → D
d(D) = 29

答案

d(D) = 29

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