数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

你对一个 n 个元素的数组排序一次，然后用二分查找回答 k 次成员查询。总代价是多少？

  1. AO(nk)
  2. BO(n + k)
  3. CO(k n log n)
  4. DO(n log n + k log n)
2.算法与复杂度困难

关于类 P 的哪个定义是正确的？

  1. A能由确定性算法在多项式时间内求解的判定问题
  2. B能够并行求解的问题
  3. C其解可以被验证、但绝不能在多项式时间内找到的问题
  4. D在每台计算机上都需要指数时间的问题
3.数据结构中等

为什么在实践中遍历数组往往比遍历同样长度的链表快得多？

  1. A链表总是把元素存储在磁盘上
  2. B数组元素是连续存放的，因此能很好地利用 CPU 缓存
  3. C数组比较数值所用的指令更少
  4. D数组遍历总共是 O(1)，而链表遍历是 O(n)
4.数据结构困难

在 Kruskal 最小生成树算法中，并查集结构用来做什么？

  1. A按权重对边排序
  2. B选择起始顶点
  3. C检查一条边的两个端点是否已经连通
  4. D在搜索过程中存储每个顶点到源点的当前距离
5.图论中等

一棵树有 3 个度为 3 的顶点, 2 个度为 4 的顶点, 4 个度为 5 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

3 × deg 32 × deg 44 × deg 5
L =
6.图论困难
1151921549ABCDE

克鲁斯卡尔算法构造最小生成树。点选它加入的第 3 条边；被跳过的边不计。

k = 3
  1. 1边 AB
  2. 2边 AC
  3. 3边 BC
  4. 4边 BD
  5. 5边 CE
  6. 6边 DE
  7. 7边 BE

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · O(n log n + k log n)

为什么是这个答案

排序代价为 O(n log n)，每次查询为 O(log n)；当 k 很大时，这比 k 次线性扫描（O(nk)）更好。

答案

D · O(n log n + k log n)
2.算法与复杂度

答案: A · 能由确定性算法在多项式时间内求解的判定问题

为什么是这个答案

P 包含具有确定性多项式时间算法的判定问题，例如检查一个图是否连通。

答案

A · 能由确定性算法在多项式时间内求解的判定问题
3.数据结构

答案: B · 数组元素是连续存放的，因此能很好地利用 CPU 缓存

为什么是这个答案

连续的内存带来良好的引用局部性，而链表节点可能分散各处，导致大量缓存未命中。

答案

B · 数组元素是连续存放的，因此能很好地利用 CPU 缓存
4.数据结构

答案: C · 检查一条边的两个端点是否已经连通

为什么是这个答案

Find 判断两个端点是否在同一个连通分量中；如果不在，就加入这条边，并用 union 合并两个分量。

答案

C · 检查一条边的两个端点是否已经连通
5.图论

答案: L = 21

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 37 = 2(L + 9) − 2
L = 21

答案

L = 21

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: 边 AC

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

1. BD (2)
2. DE (4)
3. AC (5)
4. AB (11)

边的序号 3

AC

答案

边 AC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms