数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

哪种排序算法是稳定的？

  1. A选择排序（常见版本）
  2. B快速排序（常见的原地版本）
  3. C归并排序
  4. D堆排序
2.算法与复杂度困难

用动态规划求解 0/1 背包问题需要 O(nW) 时间。为什么称之为伪多项式（pseudo-polynomial）？

  1. A因为它只适用于 W = 0
  2. BW 是一个数值，因此运行时间相对于表示 W 所需的位数是指数级的
  3. C因为该算法是随机化的，其运行时间随每个输入而变化
  4. D因为 n 总是很小
3.数据结构中等

一个道路网络有 100,000 个路口，每个路口大约与另外 4 个路口相连。哪种表示方法最合适？

  1. A邻接矩阵
  2. B一个由边组成的二叉堆
  3. C一个有序的顶点数组
  4. D邻接表
4.数据结构困难

要使哈希表正确工作，哈希与相等性必须遵守哪条规则？

  1. A哈希值必须是素数
  2. B哈希值相等意味着键相等
  3. C不同的键必须具有不同的哈希值
  4. D相等的键必须具有相等的哈希值
5.图论中等
ABCDEF欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 6|E| = 7
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
16841415714134ABCDEFG

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 6 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · 归并排序

为什么是这个答案

当合并时遇到相等元素优先取左半部分，归并排序就是稳定的。原地快速排序、堆排序和选择排序通常不稳定。

答案

C · 归并排序
2.算法与复杂度

答案: B · W 是一个数值，因此运行时间相对于表示 W 所需的位数是指数级的

为什么是这个答案

运行时间关于 W 的数值是多项式的，但关于其长度（log W 位）是指数级的；0/1 背包问题是 NP 完全的。

答案

B · W 是一个数值，因此运行时间相对于表示 W 所需的位数是指数级的
3.数据结构

答案: D · 邻接表

为什么是这个答案

矩阵需要 1010 个单元，几乎全是空的；邻接表只存储大约 400,000 个边表项。

答案

D · 邻接表
4.数据结构

答案: D · 相等的键必须具有相等的哈希值

为什么是这个答案

如果两个相等的键哈希值不同，它们就会被存储在不同的桶中，查找就会失败；不相等的键仍然可以共用一个哈希值。

答案

D · 相等的键必须具有相等的哈希值
5.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1

奇度顶点

A, D, E, F → 4
都不是

答案

都不是
6.图论

答案: F

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): C: 1
2. C (1): B: 7, E: 5, G: 14
3. E (5): D: 19, F: 12, G: 9
4. B (7): D: 15
5. G (9)
6. F (12)
7. D (15)

轮 6

F

答案

F

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