数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

在边权非负的图中，哪种算法用于求单源最短路径？

  1. A深度优先搜索（DFS）
  2. BDijkstra 算法
  3. C任何情况下都必须使用 Bellman–Ford
  4. DKruskal 算法
2.算法与复杂度困难

要证明一个判定问题 X 是 NP 完全的，必须证明哪两点？

  1. AX 属于 P，并且 X 能归约到 SAT
  2. BX 能归约到 P 中的某个问题，并且 X 属于 NP
  3. CX 属于 NP，并且某个已知的 NP 完全问题能在多项式时间内归约到 X
  4. DX 没有多项式算法，并且 X 是可判定的
3.数据结构中等

如果按已排序的顺序插入键，含 n 个节点的二叉搜索树在最坏情况下的高度是多少？

  1. Alog₂ n
  2. B1
  3. Cn（退化为链表）
  4. D√n
4.数据结构困难

在循环缓冲区中，front == rear 既可能表示空，也可能表示满。区分它们的一种常见方法是什么？

  1. A使缓冲区大小为 2 的幂
  2. B另外保存一个元素计数，或者始终留一个槽位不用
  3. C每当 front 等于 rear 时就始终清空缓冲区，使其状态为空
  4. D把 front 和 rear 存储在同一个变量中
5.图论中等

一棵树有 3 个度为 3 的顶点, 2 个度为 4 的顶点, 4 个度为 2 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

3 × deg 32 × deg 44 × deg 2
L =
6.图论困难
91121108148ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 D 的最短路径的长度 d(D)。

起点：A终点：D
d(D) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · Dijkstra 算法

为什么是这个答案

Dijkstra 算法适用于非负权重；Bellman–Ford 能处理负权重；Kruskal 用于构建最小生成树。

答案

B · Dijkstra 算法
2.算法与复杂度

答案: C · X 属于 NP，并且某个已知的 NP 完全问题能在多项式时间内归约到 X

为什么是这个答案

属于 NP 说明 X 不比 NP 更难；从已知 NP 完全问题出发的归约说明 X 至少和整个 NP 一样难。

答案

C · X 属于 NP，并且某个已知的 NP 完全问题能在多项式时间内归约到 X
3.数据结构

答案: C · n（退化为链表）

为什么是这个答案

有序插入会生成高度为 n 的退化树，使查找变为 O(n)。平衡树可以避免这种情况。

答案

C · n（退化为链表）
4.数据结构

答案: B · 另外保存一个元素计数，或者始终留一个槽位不用

为什么是这个答案

有计数时，空表示 count = 0，满表示 count = capacity；留一个空槽时，满定义为 (rear + 1) mod n == front。

答案

B · 另外保存一个元素计数，或者始终留一个槽位不用
5.图论

答案: L = 9

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 25 = 2(L + 9) − 2
L = 9

答案

L = 9

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: d(D) = 11

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 9
B (9): C: 20, D: 11, E: 17
D (11): F: 19
E (17): C: 18
C (18)
F (19)

最短路径

A → B → D
d(D) = 11

答案

d(D) = 11

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