数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

对 n 个元素的数组进行归并排序，递归共有多少层？

  1. A约 n / 2 层
  2. B约 √n 层
  3. C约 n 层
  4. D约 log₂ n 层
2.算法与复杂度困难

一个问题是 NP 完全（NP-complete）的，当且仅当它：

  1. A不属于 NP，但比所有 NP 问题都难，例如停机问题
  2. B属于 NP，且所有 NP 问题都能在多项式时间内归约到它
  3. C不可能被解决
  4. D可以在多项式时间内解决
3.数据结构中等

AVL 树和红黑树保证：

  1. A在任何情况下查找都是常数时间
  2. B没有节点拥有两个子节点
  3. C通过再平衡使高度为 O(log n)
  4. D键按插入顺序存储
4.数据结构困难

从二叉搜索树中删除一个有两个子节点的节点，通常的做法是：

  1. A删除整棵子树
  2. B从头重建它下面的整棵子树，并重新插入其中包含的每个键
  3. C用它的中序后继（或前驱）替换它，然后删除那个节点
  4. D将它与根节点交换
5.图论中等

一个连通图有 8 个顶点和 15 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 8|E| = 15
k =
6.图论困难
ABCDEF

长度为 3 且起点和终点都是 E 的闭途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 3
N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · 约 log₂ n 层

为什么是这个答案

从 n 减半到 1 大约需要 log₂ n 层，每层做 O(n) 的合并工作，因此总复杂度为 O(n log n)。

答案

D · 约 log₂ n 层
2.算法与复杂度

答案: B · 属于 NP，且所有 NP 问题都能在多项式时间内归约到它

为什么是这个答案

NP 完全问题是 NP 中最难的问题；只要其中一个有多项式算法，整个 NP 就都有多项式算法。

答案

B · 属于 NP，且所有 NP 问题都能在多项式时间内归约到它
3.数据结构

答案: C · 通过再平衡使高度为 O(log n)

为什么是这个答案

自平衡树使高度保持对数级，因此查找、插入和删除在最坏情况下都是 O(log n)。

答案

C · 通过再平衡使高度为 O(log n)
4.数据结构

答案: C · 用它的中序后继（或前驱）替换它，然后删除那个节点

为什么是这个答案

中序后继最多只有一个子节点，因此将其键复制到待删除节点后，可以轻松地删除它。

答案

C · 用它的中序后继（或前驱）替换它，然后删除那个节点
5.图论

答案: k = 8

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

8 − 1 = 7

要去掉的边数

k = 15 − 7 = 8

答案

k = 8
6.图论

答案: N = 2

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 0
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

再走一步

(M³)EE = 2·0 + 1·1 + 1·1 + 1·0 + 3·0 + 0·1 = 2

答案

N = 2

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