数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

递推式 T(n) = T(n/2) + O(1) 的解是什么？

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
2.算法与复杂度困难

一个问题是 NP 完全（NP-complete）的，当且仅当它：

  1. A不可能被解决
  2. B不属于 NP，但比所有 NP 问题都难，例如停机问题
  3. C属于 NP，且所有 NP 问题都能在多项式时间内归约到它
  4. D可以在多项式时间内解决
3.数据结构中等

在一个有 n 个元素的数组中间插入一个元素，代价是多少？

  1. AO(log n)，因为使用二分查找
  2. BO(n²)，因为每个元素要移动 n 次
  3. CO(n)，因为后面的元素必须移动
  4. DO(1)，因为下标已知
4.数据结构困难

在使用开放寻址法的哈希表中，为什么删除操作常用"墓碑"（tombstone）标记？

  1. A出于安全考虑，被删除的键必须永久保留，因此槽位永远不能重用
  2. B清空槽位可能会破坏其他键的探测序列
  3. C它能使表变得有序
  4. D墓碑可以加快哈希计算
5.图论中等

一个连通图有 16 个顶点和 20 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 16|E| = 20
k =
6.图论困难
ABCDE

从 D 到 B 的长度为 3 的途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 3
N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · O(log n)

为什么是这个答案

问题规模每一步减半，每步的工作量是常数，因此大约有 log₂ n 步。

答案

C · O(log n)
2.算法与复杂度

答案: C · 属于 NP，且所有 NP 问题都能在多项式时间内归约到它

为什么是这个答案

NP 完全问题是 NP 中最难的问题；只要其中一个有多项式算法，整个 NP 就都有多项式算法。

答案

C · 属于 NP，且所有 NP 问题都能在多项式时间内归约到它
3.数据结构

答案: C · O(n)，因为后面的元素必须移动

为什么是这个答案

插入点之后的所有元素都要向右移动一位，所需时间与 n 成正比。

答案

C · O(n)，因为后面的元素必须移动
4.数据结构

答案: B · 清空槽位可能会破坏其他键的探测序列

为什么是这个答案

如果被删除的槽位变为空，之后的查找可能会提前停止，从而漏掉探测链中更靠后的键。

答案

B · 清空槽位可能会破坏其他键的探测序列
5.图论

答案: k = 5

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

16 − 1 = 15

要去掉的边数

k = 20 − 15 = 5

答案

k = 5
6.图论

答案: N = 6

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

再走一步

(M³)DB = 1·1 + 1·0 + 2·1 + 2·1 + 1·1 = 6

答案

N = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms