数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

递推式 T(n) = 2T(n − 1) + O(1) 的解是什么？

  1. AO(n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.算法与复杂度困难

当 n 很大时，n! 与 2ⁿ 相比如何？

  1. An! 是 O(n²)
  2. Bn! 比 2ⁿ 增长得快
  3. C两者以相同的速率增长
  4. D2ⁿ 比 n! 增长得快
3.数据结构中等

一棵高度为 h（以边数计）的满二叉树有多少个节点？

  1. A2h + 1
  2. B2h
  3. Ch2
  4. D2h+1 − 1
4.数据结构困难

哪种结构能以总共 O(n) 的时间求出数组中每个大小为 k 的窗口的最大值？

  1. A一个按值递减顺序保存下标的双端队列
  2. B为每个窗口重建的最小堆
  3. C由窗口元素组成的单链表
  4. D通过移动元素来更新的有序数组
5.图论中等

一棵树有 4 个度为 4 的顶点, 3 个度为 5 的顶点, 4 个度为 2 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

4 × deg 43 × deg 54 × deg 2
L =
6.图论困难
10312111794ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · O(2ⁿ)

为什么是这个答案

调用次数每深入一层就翻倍，共有 n 层，因此总数约为 2ⁿ，就像汉诺塔问题一样。

答案

B · O(2ⁿ)
2.算法与复杂度

答案: B · n! 比 2ⁿ 增长得快

为什么是这个答案

当 n ≥ 4 时，n! 超过 2ⁿ，而且两者之比无界地增长，因为 n! 每多出的一个因子都大于 2。

答案

B · n! 比 2ⁿ 增长得快
3.数据结构

答案: D · 2h+1 − 1

为什么是这个答案

求和 1 + 2 + 4 + ... + 2h 得到 2h+1 − 1；例如，高度为 2 时有 7 个节点。

答案

D · 2h+1 − 1
4.数据结构

答案: A · 一个按值递减顺序保存下标的双端队列

为什么是这个答案

双端队列的队首始终是窗口的最大值；每个下标进出双端队列各一次，因此工作量是线性的。

答案

A · 一个按值递减顺序保存下标的双端队列
5.图论

答案: L = 19

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 39 = 2(L + 11) − 2
L = 19

答案

L = 19

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: d(F) = 13

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 10, C: 3
C (3): E: 4
E (4): F: 13, B: 8
B (8): D: 19
F (13)
D (19)

最短路径

A → C → E → F
d(F) = 13

答案

d(F) = 13

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