数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

对 n 个元素的数组进行归并排序，递归共有多少层？

  1. A约 √n 层
  2. B约 n / 2 层
  3. C约 log₂ n 层
  4. D约 n 层
2.算法与复杂度困难

如果有人为某个 NP 完全问题找到了多项式时间算法，会有什么结果？

  1. A停机问题将变得可判定
  2. BNP 中的每个问题都能在多项式时间内求解，因此 P = NP
  3. C所有指数时间算法都会立即变成线性时间
  4. D只有那一个问题会进入 P
3.数据结构中等

哪种冲突解决方法将发生冲突的键存储在同一个桶的列表中？

  1. A二次探测（Quadratic probing）
  2. B线性探测（Linear probing）
  3. C双重哈希（Double hashing）
  4. D拉链法（Separate chaining）
4.数据结构困难

向 AVL 树插入一个键后，某节点的左子树过高，而新键插入到了其左子节点的左子树中（左左情况）。应采用哪种修正？

  1. A在失衡节点处进行一次右旋
  2. B对该节点及其子节点重新着色
  3. C先在子节点处左旋，再在该节点处右旋
  4. D在失衡节点处进行一次左旋
5.图论中等

一个连通图有 18 个顶点和 18 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 18|E| = 18
k =
6.图论困难
15114913211313ABCDEFG

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 E 的最短路径的长度 d(E)。

起点：A终点：E
d(E) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · 约 log₂ n 层

为什么是这个答案

从 n 减半到 1 大约需要 log₂ n 层，每层做 O(n) 的合并工作，因此总复杂度为 O(n log n)。

答案

C · 约 log₂ n 层
2.算法与复杂度

答案: B · NP 中的每个问题都能在多项式时间内求解，因此 P = NP

为什么是这个答案

由于整个 NP 都能在多项式时间内归约到任一 NP 完全问题，其中一个问题的快速算法就给出了所有问题的快速算法。

答案

B · NP 中的每个问题都能在多项式时间内求解，因此 P = NP
3.数据结构

答案: D · 拉链法（Separate chaining）

为什么是这个答案

拉链法为每个桶维护一个链表（或其他结构）；开放寻址法则在表内寻找另一个空槽。

答案

D · 拉链法（Separate chaining）
4.数据结构

答案: A · 在失衡节点处进行一次右旋

为什么是这个答案

在左左情况中，一次右旋把左子节点提上来，恢复平衡；之字形情况需要双旋转。

答案

A · 在失衡节点处进行一次右旋
5.图论

答案: k = 1

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

18 − 1 = 17

要去掉的边数

k = 18 − 17 = 1

答案

k = 1
6.图论

答案: d(E) = 30

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 15
B (15): D: 26, G: 17
G (17): C: 18, E: 30
C (18)
D (26): F: 35
E (30)
F (35)

最短路径

A → B → G → E
d(E) = 30

答案

d(E) = 30

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