数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

关于一个没有可达基本情况的递归函数，下列哪个说法是正确的？

  1. A它的运行时间为 O(1)
  2. B编译器总会把它变成能安全结束的循环
  3. C它会不断调用自身，直到调用栈溢出
  4. D它会自动返回 0
2.算法与复杂度困难

为什么当某些边权为负时，Dijkstra 算法可能给出错误结果？

  1. A它只适用于无向图
  2. B每遇到一条负权边它就会陷入无限循环
  3. C顶点被取出时距离就被确定，但之后的负权边仍可能给它一条更短的路径
  4. D优先队列中不能存储负数
3.数据结构中等

一个大小为 7 的哈希表使用 h(k) = k mod 7 和线性探测。插入 10 之后，17 存放在哪里？

  1. A下标 4
  2. B下标 3
  3. C下标 6
  4. D下标 0
4.数据结构困难

为什么数据库和文件系统中使用 B 树？

  1. A它们比任何数组占用的内存都少，因此整个索引始终可以放进主存
  2. B它们以无序方式存储数据
  3. C其较高的分支因子使树保持较浅，从而减少缓慢的磁盘读取
  4. D它们不需要再平衡
5.图论中等

完全图 K6 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K6
H =
6.图论困难
8453112129ABCDEFG

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 5 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · 它会不断调用自身，直到调用栈溢出

为什么是这个答案

没有基本情况，递归就永远不会停止；实际上栈帧所需的内存会耗尽，程序随之崩溃。

答案

C · 它会不断调用自身，直到调用栈溢出
2.算法与复杂度

答案: C · 顶点被取出时距离就被确定，但之后的负权边仍可能给它一条更短的路径

为什么是这个答案

贪心步骤依赖于非负权重，才能保证取出的距离是最终值；权重可能为负时应使用 Bellman–Ford。

答案

C · 顶点被取出时距离就被确定，但之后的负权边仍可能给它一条更短的路径
3.数据结构

答案: A · 下标 4

为什么是这个答案

10 mod 7 = 3，17 mod 7 = 3；下标 3 已被占用，因此线性探测尝试下一个槽位，即下标 4。

答案

A · 下标 4
4.数据结构

答案: C · 其较高的分支因子使树保持较浅，从而减少缓慢的磁盘读取

为什么是这个答案

B 树每个节点存储多个键，因此高度很小，每次查找只需读取少量磁盘块；B+ 树还将叶子节点链接起来以支持范围扫描。

答案

C · 其较高的分支因子使树保持较浅，从而减少缓慢的磁盘读取
5.图论

答案: H = 60

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

答案

H = 60
6.图论

答案: E

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 8, C: 4
2. C (4): E: 9, G: 6
3. G (6): B: 7, D: 18
4. B (7)
5. E (9): F: 10
6. F (10): D: 13
7. D (13)

轮 5

E

答案

E

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