数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

递推式 T(n) = T(n − 1) + O(1) 的解是什么？

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(2ⁿ)
2.算法与复杂度困难

哪种技术能使快速排序在任意输入上的期望运行时间为 O(n log n)？

  1. A只对左侧进行递归
  2. B总是选择第一个元素
  3. C在运行快速排序前先对输入排序
  4. D均匀随机地选择基准
3.数据结构中等

在二叉最小堆中，extract-min 是如何工作的？

  1. A把最后一个元素移到根上，再将其下沉
  2. B删除数组的最后一个元素
  3. C在所有叶子中查找新的最小值
  4. D删除根，并把所有元素左移一位
4.数据结构困难

一个动态数组在满时容量翻倍。为什么许多实现只在它只有四分之一满时才缩容，而不是一半满时？

  1. A因为在一半满时减半会丢失元素
  2. B因为内存分配器只能以块的四分之一为单位释放内存
  3. C为了避免在边界附近交替进行 push 和 pop 时反复调整大小
  4. D为了使数组保持有序
5.图论中等
ABCDEFG欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 8
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
185619171914ABCDEF

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 6|E| = 8
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · O(n)

为什么是这个答案

共有 n 层，每层的工作量是常数，例如递归地对数组求和。

答案

C · O(n)
2.算法与复杂度

答案: D · 均匀随机地选择基准

为什么是这个答案

使用随机基准时，对每个输入的期望运行时间都是 O(n log n)；坏情况依然存在，但发生的概率极低。

答案

D · 均匀随机地选择基准
3.数据结构

答案: A · 把最后一个元素移到根上，再将其下沉

为什么是这个答案

最后一个元素填补根上的空位，并与其较小的子节点交换，直到满足堆性质，耗时 O(log n)。

答案

A · 把最后一个元素移到根上，再将其下沉
4.数据结构

答案: C · 为了避免在边界附近交替进行 push 和 pop 时反复调整大小

为什么是这个答案

在一半满时缩容，可能使这样的操作序列中每次操作都触发一次调整大小；1/4 与满之间的间隔使均摊代价保持在 O(1)。

答案

C · 为了避免在边界附近交替进行 push 和 pop 时反复调整大小
5.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 2

奇度顶点

A, B, C, E → 4
都不是

答案

都不是
6.图论

答案: W = 38

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

BD (1): 取
AC (5): 取
BC (6): 取
CE (9): 取
BE (14): 跳过，会形成圈
DF (17): 取

总权重

W = 1 + 5 + 6 + 9 + 17 = 38

答案

W = 38

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