数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

在有 V 个顶点、E 条边的图上，Bellman–Ford 算法的时间复杂度是多少？

  1. AO(V × E)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V³ × E)
  4. DO(V + E)
2.算法与复杂度困难

取一个极大匹配中每条边的两个端点，可以得到一个顶点覆盖。这个覆盖有多好？

  1. A与最优解相比质量未知
  2. B总是一个最小顶点覆盖
  3. C至多是最小顶点覆盖大小的两倍
  4. D至多是最小值的 log n 倍
3.数据结构中等

用两个栈实现一个队列：入队时压入 "in" 栈，出队时从 "out" 栈弹出，"out" 栈为空时从 "in" 栈重新填充。每次操作的均摊代价是多少？

  1. AO(n²)
  2. BO(1)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
4.数据结构困难

用于拓扑排序的 Kahn 算法反复删除入度为 0 的顶点。哪种结构保存这些顶点？

  1. A按出度排序的最大堆
  2. B由所有访问过的边组成的栈
  3. C记录哪些顶点已被删除的邻接矩阵
  4. D由入度为 0 的顶点组成的队列（或任何集合）
5.图论中等

一棵树有 2 个度为 3 的顶点, 2 个度为 4 的顶点, 2 个度为 5 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

2 × deg 32 × deg 42 × deg 5
L =
6.图论困难
8914123105117ABCDEFG

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 6 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · O(V × E)

为什么是这个答案

V − 1 轮中的每一轮都松弛全部 E 条边，因此为 O(VE)；作为交换，它能处理负权边。

答案

A · O(V × E)
2.算法与复杂度

答案: C · 至多是最小顶点覆盖大小的两倍

为什么是这个答案

匹配边之间没有公共顶点，因此最优解对每条边至少需要一个顶点，而这种方法取了两个：这是一个 2-近似算法。

答案

C · 至多是最小顶点覆盖大小的两倍
3.数据结构

答案: B · O(1)

为什么是这个答案

每个元素总共最多被压入和弹出各两次，因此尽管一次重新填充可能需要 O(n)，整个操作序列的平均代价是 O(1)。

答案

B · O(1)
4.数据结构

答案: D · 由入度为 0 的顶点组成的队列（或任何集合）

为什么是这个答案

准备好的顶点保存在队列中；删除一个顶点会降低其邻居的入度，入度降为 0 的邻居被加入队列，总时间为 O(V + E)。

答案

D · 由入度为 0 的顶点组成的队列（或任何集合）
5.图论

答案: L = 14

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 24 = 2(L + 6) − 2
L = 14

答案

L = 14

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: D

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 8, C: 9
2. B (8): D: 20, G: 13
3. C (9): E: 12
4. E (12): F: 22
5. G (13)
6. D (20)
7. F (22)

轮 6

D

答案

D

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