数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

哪种排序算法是稳定的？

A归并排序
B快速排序（常见的原地版本）
C选择排序（常见版本）
D堆排序

2.算法与复杂度困难

Strassen 算法在矩阵乘法中对半尺寸的分块只做 7 次而不是 8 次递归乘法。它的运行时间是多少？

AΘ(n²)
BΘ(n³)
CΘ(n^{log₂ 7})，约为 n^2.81
DΘ(n² log n)

3.数据结构中等

循环缓冲区（环形缓冲区）通常用于实现：

A二叉搜索树
B固定大小的队列
C哈希函数
D图的遍历

4.数据结构困难

红黑树必须满足哪条性质？

A从任一节点到其所有后代叶子的每条路径上，黑色节点的数量都相同
B每个红色节点的子节点必须是红色，因此红色节点总是沿着通向叶子的路径连成不间断的链
C根节点必须是红色
D每个节点都必须是红色

5.图论中等

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 11

1欧拉回路
2有欧拉通路，无回路
3都不是

6.图论困难

长度为 2 且起点和终点都是 B 的闭途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 2

N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · 归并排序

为什么是这个答案

当合并时遇到相等元素优先取左半部分，归并排序就是稳定的。原地快速排序、堆排序和选择排序通常不稳定。

答案

A · 归并排序

2.算法与复杂度

答案: C · Θ(n^{log₂ 7})，约为 n^2.81

为什么是这个答案

取 a = 7、b = 2，n^{log₂ 7} 压过 O(n²) 的加法工作量，结果约为 n^2.81。

答案

C · Θ(n^{log₂ 7})，约为 n^2.81

3.数据结构

答案: B · 固定大小的队列

为什么是这个答案

环形缓冲区使用可回绕的头索引和尾索引，在固定内存中实现 O(1) 的 enqueue 和 dequeue。

答案

B · 固定大小的队列

4.数据结构

答案: A · 从任一节点到其所有后代叶子的每条路径上，黑色节点的数量都相同

为什么是这个答案

红黑树规则：节点为红色或黑色，根为黑色，红色节点的子节点为黑色，所有路径的黑高相同，从而使高度 ≤ 2 log₂(n + 1)。

答案

A · 从任一节点到其所有后代叶子的每条路径上，黑色节点的数量都相同

5.图论

答案: 有欧拉通路，无回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 3

奇度顶点

D, G → 2

有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

6.图论

答案: N = 4

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。K_n 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 1 1 1

C: 1 1 0 0 1

D: 0 1 0 0 1

E: 0 1 1 1 0

公共邻点

(M²)_BB = 1·1 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 = 4

答案

N = 4

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