数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

在包含 1,000,000 个元素的有序数组上，二分查找在最坏情况下大约需要多少次比较？

  1. A约 1,000 次
  2. B约 20 次
  3. C约 100 次
  4. D约 500,000 次
2.算法与复杂度困难

为什么在单链表上二分查找不能达到 O(log n) 的时间？

  1. A链表节点上的比较更慢
  2. B链表无法排序
  3. C由于不能按下标直接访问，到达中间元素需要 O(n) 步
  4. D二分查找至少需要两倍的内存
3.数据结构中等

在用数组存储的二叉最小堆（索引从 0 开始）中，索引为 i 的节点的子节点位于：

  1. Ai/2 和 i/2 + 1
  2. B2i + 1 和 2i + 2
  3. Ci + 1 和 i + 2
  4. D2i 和 2i + 1
4.数据结构困难

哪种数据结构可以支持 get 和 put 均为 O(1) 的 LRU（最近最少使用）缓存？

  1. A哈希表与双向链表相结合
  2. B仅栈
  3. C仅二叉搜索树
  4. D单个有序数组
5.图论中等
ABCDEF欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 6|E| = 8
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
152098711131752ABCDEFG

克鲁斯卡尔算法构造最小生成树。点选它加入的第 4 条边；被跳过的边不计。

k = 4
  1. 1边 AB
  2. 2边 AC
  3. 3边 BC
  4. 4边 BD
  5. 5边 CE
  6. 6边 DF
  7. 7边 GB
  8. 8边 GC
  9. 9边 GD
  10. 10边 GE

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · 约 20 次

为什么是这个答案

220 ≈ 1,048,576，因此大约减半 20 次后只剩下一个元素。

答案

B · 约 20 次
2.算法与复杂度

答案: C · 由于不能按下标直接访问，到达中间元素需要 O(n) 步

为什么是这个答案

二分查找需要以 O(1) 访问中间元素；在链表上走到那里需要线性时间，因此总时间为 O(n)。

答案

C · 由于不能按下标直接访问，到达中间元素需要 O(n) 步
3.数据结构

答案: B · 2i + 1 和 2i + 2

为什么是这个答案

对于从 0 开始的数组，左子节点位于 2i + 1，右子节点位于 2i + 2，父节点位于 ⌊(i − 1)/2⌋。

答案

B · 2i + 1 和 2i + 2
4.数据结构

答案: A · 哈希表与双向链表相结合

为什么是这个答案

哈希表在 O(1) 内找到节点，双向链表在 O(1) 内将被访问的元素移到前端，并从尾部淘汰元素。

答案

A · 哈希表与双向链表相结合
5.图论

答案: 有欧拉通路，无回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2

奇度顶点

B, D → 2
有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

6.图论

答案: 边 BD

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

1. GE (2)
2. GD (5)
3. CE (7)
4. BD (8)
5. DF (11)
6. AB (15)

边的序号 4

BD

答案

边 BD

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