数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

对长度为 m 和 n 的两个字符串求最长公共子序列，标准动态规划算法的时间复杂度是多少？

  1. AO(m + n)
  2. BO(mn)
  3. CO(2m+n)
  4. DO(mn log n)
2.算法与复杂度困难

旅行商问题如何分类？

  1. A判定版本属于 P，但优化版本是 NP 完全的
  2. B它属于 P，因为 Dijkstra 算法通过把每个城市访问一次来求解它
  3. C判定版本是 NP 完全的，优化版本是 NP 难的
  4. D它是不可判定的
3.数据结构中等

在平衡二叉搜索树中查找一个键的时间复杂度是多少？

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
4.数据结构困难

在 Kruskal 最小生成树算法中，并查集结构用来做什么？

  1. A按权重对边排序
  2. B检查一条边的两个端点是否已经连通
  3. C在搜索过程中存储每个顶点到源点的当前距离
  4. D选择起始顶点
5.图论中等

完全图 K7 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K7
H =
6.图论困难
39211019111716712ABCDEFG

普里姆算法从顶点 D 出发构造最小生成树。点选它加入的第 5 条边。

起点：Dk = 5
  1. 1边 AB
  2. 2边 AC
  3. 3边 BC
  4. 4边 BD
  5. 5边 DE
  6. 6边 DF
  7. 7边 EF
  8. 8边 GB
  9. 9边 GC
  10. 10边 GD
  11. 11边 GE

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · O(mn)

为什么是这个答案

表格有 (m + 1)(n + 1) 个单元，每个单元都由相邻单元在 O(1) 内算出。

答案

B · O(mn)
2.算法与复杂度

答案: C · 判定版本是 NP 完全的，优化版本是 NP 难的

为什么是这个答案

"是否存在长度至多为 k 的回路？"是 NP 完全的；求最短回路是 NP 难的，因为它至少同样困难。

答案

C · 判定版本是 NP 完全的，优化版本是 NP 难的
3.数据结构

答案: D · O(log n)

为什么是这个答案

平衡树的高度约为 log₂ n，因此查找只需沿着从根到叶的一条路径进行。

答案

D · O(log n)
4.数据结构

答案: B · 检查一条边的两个端点是否已经连通

为什么是这个答案

Find 判断两个端点是否在同一个连通分量中；如果不在，就加入这条边，并用 union 合并两个分量。

答案

B · 检查一条边的两个端点是否已经连通
5.图论

答案: H = 360

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

答案

H = 360
6.图论

答案: 边 DE

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

普里姆算法

1. BD (1)
2. BC (2)
3. AB (3)
4. GD (7)
5. DE (10)
6. EF (11)

边的序号 5

DE

答案

边 DE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms