数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

对于在满时将容量翻倍的动态数组，追加元素的均摊（amortised）时间复杂度是多少？

  1. AO(n²)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.算法与复杂度困难

使用主定理，T(n) = 8T(n/2) + O(n²) 的解是：

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n³)
  4. DΘ(n² log n)
3.数据结构中等

把键 50、30、70、20、40 按此顺序插入一棵空的二叉搜索树。30 的左子节点是什么？

  1. A40
  2. B20
  3. C70
  4. D50
4.数据结构困难

基数树（压缩字典树）相比普通字典树有什么改进？

  1. A它按频率对每个节点的子节点排序
  2. B它把单子节点链合并为一条以字符串标记的边
  3. C它只保留每个单词的首字母
  4. D它把每个单词存储在根处的哈希表中，而不是存储在单独的节点中
5.图论中等

一棵树有 4 个度为 5 的顶点, 4 个度为 2 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

4 × deg 54 × deg 2
L =
6.图论困难
113151012131311ABCDEFG

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 3 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · O(1)

为什么是这个答案

只有在元素个数达到 2 的幂时才会复制全部元素；将其分摊到所有追加操作上，每次追加的平均代价是常数。

答案

B · O(1)
2.算法与复杂度

答案: C · Θ(n³)

为什么是这个答案

log₂ 8 = 3，且 n² 比 n³ 增长慢，因此叶子层占主导：Θ(n³)。

答案

C · Θ(n³)
3.数据结构

答案: B · 20

为什么是这个答案

20 比 50 小，也比 30 小，因此成为 30 的左子节点；40 成为 30 的右子节点。

答案

B · 20
4.数据结构

答案: B · 它把单子节点链合并为一条以字符串标记的边

为什么是这个答案

合并没有分支的路径可以减少节点数和内存占用，同时保留前缀查找功能。

答案

B · 它把单子节点链合并为一条以字符串标记的边
5.图论

答案: L = 14

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 28 = 2(L + 8) − 2
L = 14

答案

L = 14

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: C

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 11
2. B (11): C: 14, G: 24
3. C (14): E: 15
4. E (15): D: 20, F: 27
5. D (20)
6. G (24)
7. F (27)

轮 3

C

答案

C

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