数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

递推式 T(n) = 2T(n/2) + O(n) 的解是：

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.算法与复杂度困难

关于类 P 的哪个定义是正确的？

  1. A能由确定性算法在多项式时间内求解的判定问题
  2. B能够并行求解的问题
  3. C在每台计算机上都需要指数时间的问题
  4. D其解可以被验证、但绝不能在多项式时间内找到的问题
3.数据结构中等

Dijkstra 算法使用哪种抽象数据类型来选择下一个要处理的顶点？

  1. A无序集合
  2. BFIFO 队列
  3. C栈
  4. D最小优先队列
4.数据结构困难

布隆过滤器（Bloom filter）回答"该元素是否在集合中？"时：

  1. A只能回答数字的情况
  2. B可能出现假阴性，但不会出现假阳性
  3. C总是给出精确答案
  4. D可能出现假阳性，但不会出现假阴性
5.图论中等
ABCDE欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 5|E| = 5
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
19142912617ABCDE

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 5|E| = 7
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · O(n log n)

为什么是这个答案

根据主定理（master theorem）（a = 2, b = 2, f(n) = n），T(n) = Θ(n log n)。

答案

C · O(n log n)
2.算法与复杂度

答案: A · 能由确定性算法在多项式时间内求解的判定问题

为什么是这个答案

P 包含具有确定性多项式时间算法的判定问题，例如检查一个图是否连通。

答案

A · 能由确定性算法在多项式时间内求解的判定问题
3.数据结构

答案: D · 最小优先队列

为什么是这个答案

最小优先队列（通常是二叉堆）能高效地返回距离最小的未访问顶点。

答案

D · 最小优先队列
4.数据结构

答案: D · 可能出现假阳性，但不会出现假阴性

为什么是这个答案

如果某元素对应的任一位为 0，则它一定不存在；如果全部为 1，则它很可能存在。布隆过滤器以牺牲准确性换取极少的内存占用。

答案

D · 可能出现假阳性，但不会出现假阴性
5.图论

答案: 有欧拉通路，无回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇度顶点

A, B → 2
有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

6.图论

答案: W = 31

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

BC (2): 取
DE (6): 取
BD (9): 取
CE (12): 跳过，会形成圈
AC (14): 取

总权重

W = 2 + 6 + 9 + 14 = 31

答案

W = 31

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