数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

当问题具有以下特征时，动态规划（dynamic programming）很有用：

  1. A只有一个循环
  2. B完全没有子问题，因此一步就能解决
  3. C只有随机输入
  4. D重叠子问题和最优子结构
2.算法与复杂度困难

为什么在有序数组中任何基于比较的查找在最坏情况下都需要 Ω(log n) 次比较？

  1. A每个元素都必须至少比较一次
  2. B有 n 种可能结果的决策树，其深度至少为 log₂ n
  3. C二分查找是唯一可能的算法，它需要 log₂ n 次比较
  4. D每次比较都需要对数时间
3.数据结构中等

你持有一个位于链表中间的节点的引用。在哪种链表中可以在 O(1) 内删除它？

  1. A动态数组
  2. B双向链表
  3. C单链表
  4. D有序数组
4.数据结构困难

把键 5、3、8、1 按此顺序插入一个空的基于数组的二叉最小堆。最终的数组是什么？

  1. A[1, 3, 8, 5]
  2. B[1, 5, 8, 3]
  3. C[1, 3, 5, 8]
  4. D[3, 1, 8, 5]
5.图论中等

一棵树有 2 个度为 3 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

2 × deg 3
L =
6.图论困难
ABCDEF

长度为 3 且起点和终点都是 D 的闭途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 3
N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · 重叠子问题和最优子结构

为什么是这个答案

存储重叠子问题的结果（记忆化或制表）可以避免重复计算，把指数时间算法变成多项式时间算法。

答案

D · 重叠子问题和最优子结构
2.算法与复杂度

答案: B · 有 n 种可能结果的决策树，其深度至少为 log₂ n

为什么是这个答案

每次比较至多把剩余的可能性减半，因此要区分 n 个位置至少需要 log₂ n 次比较。

答案

B · 有 n 种可能结果的决策树，其深度至少为 log₂ n
3.数据结构

答案: B · 双向链表

为什么是这个答案

双向链表的节点知道其前驱，因此可以直接重新连接 prev 和 next；单链表必须查找前驱。

答案

B · 双向链表
4.数据结构

答案: A · [1, 3, 8, 5]

为什么是这个答案

插入 5、3、8 之后数组为 [3, 5, 8]；1 放到下标 3，先与父节点 5 交换，再与 3 交换，得到 [1, 3, 8, 5]。

答案

A · [1, 3, 8, 5]
5.图论

答案: L = 4

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 6 = 2(L + 2) − 2
L = 4

答案

L = 4

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: N = 2

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 0 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

再走一步

(M³)DD = 0·0 + 1·0 + 1·0 + 2·0 + 1·1 + 1·1 = 2

答案

N = 2

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