数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

对于在满时将容量翻倍的动态数组，追加元素的均摊（amortised）时间复杂度是多少？

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.算法与复杂度困难

为什么在单链表上二分查找不能达到 O(log n) 的时间？

  1. A二分查找至少需要两倍的内存
  2. B链表无法排序
  3. C由于不能按下标直接访问，到达中间元素需要 O(n) 步
  4. D链表节点上的比较更慢
3.数据结构中等

哪种冲突解决方法将发生冲突的键存储在同一个桶的列表中？

  1. A二次探测（Quadratic probing）
  2. B线性探测（Linear probing）
  3. C双重哈希（Double hashing）
  4. D拉链法（Separate chaining）
4.数据结构困难

在 Kruskal 最小生成树算法中，并查集结构用来做什么？

  1. A在搜索过程中存储每个顶点到源点的当前距离
  2. B按权重对边排序
  3. C检查一条边的两个端点是否已经连通
  4. D选择起始顶点
5.图论中等
ABCDE欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 5|E| = 5
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
96120258310ABCDEFG

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 7|E| = 9
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · O(1)

为什么是这个答案

只有在元素个数达到 2 的幂时才会复制全部元素；将其分摊到所有追加操作上，每次追加的平均代价是常数。

答案

A · O(1)
2.算法与复杂度

答案: C · 由于不能按下标直接访问，到达中间元素需要 O(n) 步

为什么是这个答案

二分查找需要以 O(1) 访问中间元素；在链表上走到那里需要线性时间，因此总时间为 O(n)。

答案

C · 由于不能按下标直接访问，到达中间元素需要 O(n) 步
3.数据结构

答案: D · 拉链法（Separate chaining）

为什么是这个答案

拉链法为每个桶维护一个链表（或其他结构）；开放寻址法则在表内寻找另一个空槽。

答案

D · 拉链法（Separate chaining）
4.数据结构

答案: C · 检查一条边的两个端点是否已经连通

为什么是这个答案

Find 判断两个端点是否在同一个连通分量中；如果不在，就加入这条边，并用 union 合并两个分量。

答案

C · 检查一条边的两个端点是否已经连通
5.图论

答案: 有欧拉通路，无回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇度顶点

A, B → 2
有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

6.图论

答案: W = 26

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

BD (1): 取
DE (2): 取
GC (3): 取
DF (5): 取
BC (6): 取
EF (8): 跳过，会形成圈
AC (9): 取

总权重

W = 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 9 = 26

答案

W = 26

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