数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

快速排序的最坏情况时间复杂度是多少？

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.算法与复杂度困难

下列哪个可满足性问题已知可以在多项式时间内求解？

  1. A合取范式公式上的一般 SAT
  2. B电路可满足性问题
  3. C3-SAT，每个子句恰好有三个文字
  4. D2-SAT，每个子句至多有两个文字
3.数据结构中等

一个道路网络有 100,000 个路口，每个路口大约与另外 4 个路口相连。哪种表示方法最合适？

  1. A邻接表
  2. B一个有序的顶点数组
  3. C邻接矩阵
  4. D一个由边组成的二叉堆
4.数据结构困难

为什么不能简单地通过清除位来从标准布隆过滤器中删除元素？

  1. A布隆过滤器中的位在创建后不能更改
  2. B删除会使假阳性率增加到 100%
  3. C这些位可能同时属于其他元素，从而导致假阴性
  4. D布隆过滤器存储完整的元素，而这些元素一旦被哈希就无法再找回
5.图论中等

一个连通图有 11 个顶点和 12 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 11|E| = 12
k =
6.图论困难
ABCDE

长度为 3 且起点和终点都是 E 的闭途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 3
N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · O(n²)

为什么是这个答案

如果基准一直选得很差（例如输入已排好序且选第一个元素为基准），划分就会不平衡，导致 O(n²)。平均情况为 O(n log n)。

答案

B · O(n²)
2.算法与复杂度

答案: D · 2-SAT，每个子句至多有两个文字

为什么是这个答案

2-SAT 属于 P（通过强连通分量可在线性时间内求解），而 3-SAT 是 NP 完全的。

答案

D · 2-SAT，每个子句至多有两个文字
3.数据结构

答案: A · 邻接表

为什么是这个答案

矩阵需要 1010 个单元，几乎全是空的；邻接表只存储大约 400,000 个边表项。

答案

A · 邻接表
4.数据结构

答案: C · 这些位可能同时属于其他元素，从而导致假阴性

为什么是这个答案

清除一个共享的位会使另一个元素看起来不存在；计数布隆过滤器用计数器代替位，从而允许删除。

答案

C · 这些位可能同时属于其他元素，从而导致假阴性
5.图论

答案: k = 2

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

11 − 1 = 10

要去掉的边数

k = 12 − 10 = 2

答案

k = 2
6.图论

答案: N = 2

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 0
E: 0 1 1 0 0

再走一步

(M³)EE = 2·0 + 1·1 + 1·1 + 1·0 + 2·0 = 2

答案

N = 2

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