数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

贪心算法（greedy algorithm）：

A在每一步都做出局部最优的选择
B只使用递归
C尝试所有可能的解
D总能给出最优解

2.算法与复杂度困难

关于在无序数组中选择第 k 小的元素，下列哪个说法是正确的？

A选择总是需要 Ω(n log n)，因为必须先排序
B快速选择的最坏情况为 O(log n)，因为它只对枢轴的一侧递归
C选择只能在 O(n²) 内完成
D快速选择的期望时间为 O(n)，而中位数的中位数法保证最坏情况为 O(n)

3.数据结构中等

一棵高度为 h（以边数计）的满二叉树有多少个节点？

Ah²
B2^h+1 − 1
C2h + 1
D2^h

4.数据结构困难

向 AVL 树插入一个键后，某节点的左子树过高，而新键插入到了其左子节点的左子树中（左左情况）。应采用哪种修正？

A在失衡节点处进行一次左旋
B在失衡节点处进行一次右旋
C对该节点及其子节点重新着色
D先在子节点处左旋，再在该节点处右旋

5.图论中等

一棵树有 2 个度为 3 的顶点, 3 个度为 4 的顶点, 4 个度为 2 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

2 × deg 33 × deg 44 × deg 2

L =

6.图论困难

从 A 到 D 的长度为 3 的途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 3

N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · 在每一步都做出局部最优的选择

为什么是这个答案

贪心算法速度快，对某些问题是最优的（例如 Dijkstra、Huffman 编码），但一般情况下并非如此（例如某些硬币体系下的找零问题）。

答案

A · 在每一步都做出局部最优的选择

2.算法与复杂度

答案: D · 快速选择的期望时间为 O(n)，而中位数的中位数法保证最坏情况为 O(n)

为什么是这个答案

使用随机基准时，快速选择的期望工作量为 n + n/2 + n/4 + ... = O(n)；把基准选为中位数的中位数可使最坏情况为线性。

答案

D · 快速选择的期望时间为 O(n)，而中位数的中位数法保证最坏情况为 O(n)

3.数据结构

答案: B · 2^h+1 − 1

为什么是这个答案

求和 1 + 2 + 4 + ... + 2^h 得到 2^h+1 − 1；例如，高度为 2 时有 7 个节点。

答案

B · 2^h+1 − 1

4.数据结构

答案: B · 在失衡节点处进行一次右旋

为什么是这个答案

在左左情况中，一次右旋把左子节点提上来，恢复平衡；之字形情况需要双旋转。

答案

B · 在失衡节点处进行一次右旋

5.图论

答案: L = 10

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 26 = 2(L + 9) − 2

L = 10

答案

L = 10

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: N = 3

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。K_n 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 1 0 0 0

B: 1 0 1 1 1 0

C: 1 1 0 0 1 0

D: 0 1 0 0 1 1

E: 0 1 1 1 0 1

F: 0 0 0 1 1 0

再走一步

(M³)_AD = 2·0 + 1·1 + 1·0 + 1·0 + 2·1 + 0·1 = 3

答案

N = 3

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