数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

递推式 T(n) = T(n − 1) + O(1) 的解是什么？

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n²)
2.算法与复杂度困难

下列哪个可满足性问题已知可以在多项式时间内求解？

  1. A电路可满足性问题
  2. B3-SAT，每个子句恰好有三个文字
  3. C2-SAT，每个子句至多有两个文字
  4. D合取范式公式上的一般 SAT
3.数据结构中等

如果按已排序的顺序插入键，含 n 个节点的二叉搜索树在最坏情况下的高度是多少？

  1. An（退化为链表）
  2. B√n
  3. Clog₂ n
  4. D1
4.数据结构困难

为什么数据库常用 B+ 树而不是普通的 B 树来建立索引？

  1. A所有记录都在相互链接的叶子中，使范围扫描很高效
  2. BB+ 树不需要保持平衡
  3. CB+ 树使用二叉内部节点，从而减少磁盘读取次数
  4. DB+ 树只在根中存储数据
5.图论中等

一个连通图有 18 个顶点和 18 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 18|E| = 18
k =
6.图论困难
16564143181310ABCDEF

克鲁斯卡尔算法构造最小生成树。点选它加入的第 2 条边；被跳过的边不计。

k = 2
  1. 1边 AB
  2. 2边 AC
  3. 3边 BC
  4. 4边 BD
  5. 5边 CE
  6. 6边 DE
  7. 7边 DF
  8. 8边 EF
  9. 9边 BE

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · O(n)

为什么是这个答案

共有 n 层，每层的工作量是常数，例如递归地对数组求和。

答案

A · O(n)
2.算法与复杂度

答案: C · 2-SAT，每个子句至多有两个文字

为什么是这个答案

2-SAT 属于 P（通过强连通分量可在线性时间内求解），而 3-SAT 是 NP 完全的。

答案

C · 2-SAT，每个子句至多有两个文字
3.数据结构

答案: A · n（退化为链表）

为什么是这个答案

有序插入会生成高度为 n 的退化树，使查找变为 O(n)。平衡树可以避免这种情况。

答案

A · n（退化为链表）
4.数据结构

答案: A · 所有记录都在相互链接的叶子中，使范围扫描很高效

为什么是这个答案

在 B+ 树中，内部节点只用于引导查找，叶子按键的顺序链接起来，因此范围查询先找到第一个键，再沿着叶子向后走。

答案

A · 所有记录都在相互链接的叶子中，使范围扫描很高效
5.图论

答案: k = 1

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

18 − 1 = 17

要去掉的边数

k = 18 − 17 = 1

答案

k = 1
6.图论

答案: 边 BD

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

1. DE (3)
2. BD (4)
3. AC (5)
4. BC (6)
5. EF (13)

边的序号 2

BD

答案

边 BD

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