数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

硬币面值为 1、3 和 4，金额为 6，贪心的"先取最大硬币"方法使用多少枚硬币？与最优解相比如何？

  1. A贪心用 3 枚；最优解是 2 枚
  2. B贪心用 2 枚；最优解是 2 枚
  3. C贪心用 3 枚；最优解是 3 枚
  4. D贪心用 4 枚；最优解是 3 枚
2.算法与复杂度困难

要证明一个判定问题 X 是 NP 完全的，必须证明哪两点？

  1. AX 属于 NP，并且某个已知的 NP 完全问题能在多项式时间内归约到 X
  2. BX 能归约到 P 中的某个问题，并且 X 属于 NP
  3. CX 属于 P，并且 X 能归约到 SAT
  4. DX 没有多项式算法，并且 X 是可判定的
3.数据结构中等

二叉搜索树中的某个节点有右子树。它的中序后继在哪里？

  1. A总是它的右子节点
  2. B其右子树中最左边的节点
  3. C其左子树中最右边的节点
  4. D总是它的父节点
4.数据结构困难

哪种数据结构可以支持 get 和 put 均为 O(1) 的 LRU（最近最少使用）缓存？

  1. A仅栈
  2. B仅二叉搜索树
  3. C哈希表与双向链表相结合
  4. D单个有序数组
5.图论中等
ABCDEF欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 6|E| = 8
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
458610334ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · 贪心用 3 枚；最优解是 2 枚

为什么是这个答案

贪心取 4 + 1 + 1，共 3 枚，而 3 + 3 只用 2 枚，因此对这种硬币体系贪心不是最优的；动态规划才是。

答案

A · 贪心用 3 枚；最优解是 2 枚
2.算法与复杂度

答案: A · X 属于 NP，并且某个已知的 NP 完全问题能在多项式时间内归约到 X

为什么是这个答案

属于 NP 说明 X 不比 NP 更难；从已知 NP 完全问题出发的归约说明 X 至少和整个 NP 一样难。

答案

A · X 属于 NP，并且某个已知的 NP 完全问题能在多项式时间内归约到 X
3.数据结构

答案: B · 其右子树中最左边的节点

为什么是这个答案

所有比该节点大且与之相近的键都在它的右子树中，其中最小的就是那里最左边的节点。

答案

B · 其右子树中最左边的节点
4.数据结构

答案: C · 哈希表与双向链表相结合

为什么是这个答案

哈希表在 O(1) 内找到节点，双向链表在 O(1) 内将被访问的元素移到前端，并从尾部淘汰元素。

答案

C · 哈希表与双向链表相结合
5.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2

奇度顶点

A, B, C, D → 4
都不是

答案

都不是
6.图论

答案: d(F) = 11

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 4, C: 5
B (4): D: 10, E: 8
C (5)
E (8): F: 11
D (10)
F (11)

最短路径

A → B → E → F
d(F) = 11

答案

d(F) = 11

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms