数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

下面代码的时间复杂度是多少：for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)？

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.算法与复杂度困难

插入排序在有序输入上运行时间为 O(n)。这与比较排序的 Ω(n log n) 下界矛盾吗？

  1. A矛盾，但仅对长度小于 100 的数组
  2. B不矛盾，下界针对的是所有输入中的最坏情况，而不是每一个输入
  3. C矛盾，因此这个下界是错的
  4. D不矛盾，因为插入排序不是比较排序
3.数据结构中等

在平衡二叉搜索树中查找一个键的时间复杂度是多少？

  1. AO(1)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
4.数据结构困难

在循环缓冲区中，front == rear 既可能表示空，也可能表示满。区分它们的一种常见方法是什么？

  1. A每当 front 等于 rear 时就始终清空缓冲区，使其状态为空
  2. B使缓冲区大小为 2 的幂
  3. C把 front 和 rear 存储在同一个变量中
  4. D另外保存一个元素计数，或者始终留一个槽位不用
5.图论中等
ABCDEFG欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 9
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
59631141310ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · O(n log n)

为什么是这个答案

对外层 n 次迭代中的每一次，内层循环约运行 log₂ n 次，因此总复杂度为 O(n log n)。

答案

C · O(n log n)
2.算法与复杂度

答案: B · 不矛盾，下界针对的是所有输入中的最坏情况，而不是每一个输入

为什么是这个答案

该下界是说，每种比较排序在某个规模为 n 的输入上都需要大约 n log n 次比较；特殊的输入可能快得多。

答案

B · 不矛盾，下界针对的是所有输入中的最坏情况，而不是每一个输入
3.数据结构

答案: C · O(log n)

为什么是这个答案

平衡树的高度约为 log₂ n，因此查找只需沿着从根到叶的一条路径进行。

答案

C · O(log n)
4.数据结构

答案: D · 另外保存一个元素计数，或者始终留一个槽位不用

为什么是这个答案

有计数时，空表示 count = 0，满表示 count = capacity；留一个空槽时，满定义为 (rear + 1) mod n == front。

答案

D · 另外保存一个元素计数，或者始终留一个槽位不用
5.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 3

奇度顶点

A, C, E, G → 4
都不是

答案

都不是
6.图论

答案: d(F) = 25

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 5, C: 9
B (5): D: 8, E: 15
D (8): E: 12
C (9)
E (12): F: 25
F (25)

最短路径

A → B → D → E → F
d(F) = 25

答案

d(F) = 25

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