数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

硬币面值为 1、3 和 4，金额为 6，贪心的"先取最大硬币"方法使用多少枚硬币？与最优解相比如何？

  1. A贪心用 2 枚；最优解是 2 枚
  2. B贪心用 4 枚；最优解是 3 枚
  3. C贪心用 3 枚；最优解是 3 枚
  4. D贪心用 3 枚；最优解是 2 枚
2.算法与复杂度困难

下列哪个可满足性问题已知可以在多项式时间内求解？

  1. A合取范式公式上的一般 SAT
  2. B3-SAT，每个子句恰好有三个文字
  3. C电路可满足性问题
  4. D2-SAT，每个子句至多有两个文字
3.数据结构中等

检查 "{[()]}" 中的括号是否匹配，使用哪种数据结构？

  1. A哈希表
  2. B二叉搜索树
  3. C队列
  4. D栈
4.数据结构困难

与有序链表相比，跳表（skip list）的主要优势是什么？

  1. A利用多层前向指针，实现期望 O(log n) 的查找
  2. B它以无序方式存储键
  3. C保证 O(1) 的查找，因为每个节点都存有指向其他所有节点的指针
  4. D它不占用额外内存
5.图论中等

一棵树有 2 个度为 4 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

2 × deg 4
L =
6.图论困难
1117161218917ABCDEF

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 6|E| = 8
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · 贪心用 3 枚；最优解是 2 枚

为什么是这个答案

贪心取 4 + 1 + 1，共 3 枚，而 3 + 3 只用 2 枚，因此对这种硬币体系贪心不是最优的；动态规划才是。

答案

D · 贪心用 3 枚；最优解是 2 枚
2.算法与复杂度

答案: D · 2-SAT，每个子句至多有两个文字

为什么是这个答案

2-SAT 属于 P（通过强连通分量可在线性时间内求解），而 3-SAT 是 NP 完全的。

答案

D · 2-SAT，每个子句至多有两个文字
3.数据结构

答案: D · 栈

为什么是这个答案

遇到左括号就 push，遇到右括号就 pop；右括号必须与弹出的括号匹配，并且最后栈必须为空。

答案

D · 栈
4.数据结构

答案: A · 利用多层前向指针，实现期望 O(log n) 的查找

为什么是这个答案

随机化的层级使查找能够跳过许多节点，从而使查找、插入和删除的期望时间为 O(log n)。

答案

A · 利用多层前向指针，实现期望 O(log n) 的查找
5.图论

答案: L = 6

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 8 = 2(L + 2) − 2
L = 6

答案

L = 6

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: W = 45

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

AB (1): 取
BC (7): 取
EF (9): 取
AC (11): 跳过，会形成圈
CE (12): 取
BD (16): 取

总权重

W = 1 + 7 + 9 + 12 + 16 = 45

答案

W = 45

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