数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

你对一个 n 个元素的数组排序一次，然后用二分查找回答 k 次成员查询。总代价是多少？

  1. AO(nk)
  2. BO(n + k)
  3. CO(n log n + k log n)
  4. DO(k n log n)
2.算法与复杂度困难

关于 P 和 NP，下列哪个说法是正确的？

  1. ANP 表示“not polynomial”（非多项式）
  2. BP 中的每个问题也都属于 NP
  3. C已经证明 P ≠ NP
  4. DNP 问题无法被快速验证
3.数据结构中等

关于无向图的邻接矩阵，下列哪项是正确的？

  1. A它关于主对角线对称
  2. B它总是上三角矩阵
  3. C每一行恰好有一个 1
  4. D它的主对角线上总是 1
4.数据结构困难

红黑树必须满足哪条性质？

  1. A从任一节点到其所有后代叶子的每条路径上，黑色节点的数量都相同
  2. B每个红色节点的子节点必须是红色，因此红色节点总是沿着通向叶子的路径连成不间断的链
  3. C每个节点都必须是红色
  4. D根节点必须是红色
5.图论中等

一棵树有 3 个度为 5 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

3 × deg 5
L =
6.图论困难
71916171141215598ABCDEFG

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 7|E| = 11
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · O(n log n + k log n)

为什么是这个答案

排序代价为 O(n log n)，每次查询为 O(log n)；当 k 很大时，这比 k 次线性扫描（O(nk)）更好。

答案

C · O(n log n + k log n)
2.算法与复杂度

答案: B · P 中的每个问题也都属于 NP

为什么是这个答案

P ⊆ NP：如果你能快速解决一个问题，你就能快速验证一个解。P 是否等于 NP 仍是一个未解决的问题。

答案

B · P 中的每个问题也都属于 NP
3.数据结构

答案: A · 它关于主对角线对称

为什么是这个答案

在无向图中，边 {u, v} 意味着 M[u][v] 和 M[v][u] 都被置位，因此矩阵等于其转置。

答案

A · 它关于主对角线对称
4.数据结构

答案: A · 从任一节点到其所有后代叶子的每条路径上，黑色节点的数量都相同

为什么是这个答案

红黑树规则：节点为红色或黑色，根为黑色，红色节点的子节点为黑色，所有路径的黑高相同，从而使高度 ≤ 2 log₂(n + 1)。

答案

A · 从任一节点到其所有后代叶子的每条路径上，黑色节点的数量都相同
5.图论

答案: L = 11

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 15 = 2(L + 3) − 2
L = 11

答案

L = 11

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: W = 48

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

DF (4): 取
GC (5): 取
AB (7): 取
GE (8): 取
GD (9): 取
CE (11): 跳过，会形成圈
EF (12): 跳过，会形成圈
GB (15): 取

总权重

W = 4 + 5 + 7 + 8 + 9 + 15 = 48

答案

W = 48

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms